Tú querés z*T(z)^k/(1-T(z)).
Empezás con la de T(z)^k que ya tenés la expansión por el Teorema de inversión Lagrange de la potencia.
Luego derivás a ambos lados y te queda k*T^(k-1)*T' y sustituís T' = (T/z)/(1-T) usando la fórmula de la derivada. Por ahí, si seguís este camino, vas a llegar a una forma diferente de probar lo mismo.
Espero que estas respuestas te hayan aclarado la duda.
Tuba.