Estudiantes,
Además de consultar sobre qué tópicos del tema series e integrales
impropias son pasibles de ser preguntados, muchos han consultado
sobre el resto del programa. Dado que el cronograma no se cumplió a
cabalidad, pensamos conveniente hacer una puesta a punto sobre los
contenidos fundamentales para este examen.
Respecto a la primera parte del curso, que corresponde a las 7 primeras
bolillas, el cronograma fue abordado casi sin desviaciones. Apenas sí
conviene aclarar que en algunos teóricos no se abordó la prueba de
Borel-Lebesgue, de modo que no la vamos a pedir. Sin embargo, deben
conocer el enunciado, entenderlo cabalmente y saberlo aplicar en una
situación concreta.
Bolillas 8 y 10, se trabajaron tal como estaba previsto. Los teoremas
que allí aparecen son muy importantes, deben conocerlos, entender sus
enunciados, saberlos aplicar y saberlos demostrar.
La bolilla 11, sobre el método de Newton, no se trabajó. No se
preguntará entonces nada al respecto.
La bolilla 12, sobre el teorema de Taylor, se trabajó tal como aparece
en el cronograma. No se demostró en todos los teóricos el Teorema de
Taylor con resto de Lagrange. Esa prueba no se les pedirá, pero sí deben
conocer el enunciado, entenderlo y saber aplicarlo. Recuerden que este
enunciado permite acotar el resto en un desarrollo y se usó, por
ejemplo, para expresar la exponencial como una serie de potencias.
La bolilla 13, sobre integrales de Riemann, se trabajó también como
aparece en el cronograma. Los teoremas allí mencionados son centrales en
este curso. El Teorema Fundamental del Cálculo Integral es, como su
nombre lo dice, fundamental. Deben conocer el enunciado, entenderlo a
cabalidad, saber aplicarlo y saber probarlo. Otro teorema fundamental de
esta bolilla es el que prueba que las funciones continuas en intervalos
cerrados y acotados (compactos) son integrables. Si se fijan en la
práctica cotidiana de integración que vieron en el práctico, la casi
totalidad de los ejemplos son sobre funciones continuas o continuas a
trozos (seccionalmente continuas). Es clave que entiendan porqué estas
fuciones son todas integrables, ya que como vimos, la sóla existencia de
una primitiva no justifica que la función sea integrable. Deben entonces
concerlo, entenderlo, saberlo aplicar y saber demostrarlo. Las pruebas
de estos dos teoremas las vimos tal como aparecen en las notas, al igual
que el tratamiento de la continuidad uniforme (que es fundamental en la
demostración). En cambio, lo que hace a las métodos numéricos de
aproximación de integrales (usando sumas de Riemann), apenas si los
comentamos, no llegamos a trabajarlos a fondo en todos los teóricos.
Deben saber porqué las sumas de Riemann convergen a la integral y con
eso basta.
La bolilla 14 es sobre integrales impropias y series. Un punteo sobre
qué les vamos a preguntar de este tema ya lo tuvieron en el mensaje
anterior.
¡Buen trabajo!