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Parece ser que en la segunda ecuación del mensaje anterior me apuré y me equivoque, re corrigo y agrego paso intermedio para que se vea bien:

$\left| \frac{f(z_1) - f(z_0)}{z_1 - z_0} - g(z_0) \right| = \left | \int_S g(z)dz - g(z_0)(z_1 - z_0)\right | \left | \frac{1}{z_1-z_0} \right | = \left | \int_S g(z)dz - \int_S g(z_0)dz \right | \left | \frac{1}{z_1 - z_0} \right | \leq \int_S |g(z) - g(z_0)|dz \left | \frac{1}{z_1-z_0} \right |$

Y luego sería... si tomo $z_1$ lo suficientemente cerca de $z_0$ la continuidad en $z_0$ me asegura $|g(z)-g(z_0)| \leq \epsilon$