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Anduve buscando usar los resultados de convergencia uniforme para que la prueba de este teorema sea más natural y me gustaría saber si la prueba es correcta. 

Teorema: $f$ analítica en $\Omega$ entonces $f$ es holomorfa en $\Omega$ y su derivada es desarrollable.

Dem:

Dado $a \in \Omega$ y sea $D_r(a)$ tal que $f(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(z-a)^n$. Claramente el radio de convergencia de la serie es mayor a $r$.

Consideramos ahora la expresión $\sum\limits_{n=1}^{\infty} na_n(z-a)^{n-1}$, con el limite superior de la raíz enésima se ve que tiene el mismo radio que la primera serie y por lo tanto tiene sentido definir $g(z) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} na_n(z-a)^{n-1}$ con $z \in D_r(a)$. Probaré que $f$ es holomorfa y $g$ es su derivada. Para eso observo que $g$ converge uniformemente en cualquier compacto dentro de su radio de convergencia y por lo tanto lo hace para toda curva en el disco. Entonces dado $z \in D_r(a)$ y $\gamma \subset D_r(a)$ cualquiera que una a con z. Entonces se cumple que

$\int_{\gamma} g(z)dz = \int_{\gamma} \sum\limits_{n=1}^{\infty} na_n(z-a)^{n-1} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \int_{\gamma}na_n(z-a)^{n-1} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n (z-a)^n = f(z) - a_0$ 

Donde la segunda igualdad vale por convergencia uniforme. La integral de cada termino de la serie en $\gamma$ se calcula fácil por conocer las primitivas. Entonces, recordando que $a_0 = f(a)$ hasta ahora tenemos que 

$\int_{\gamma} g(z)dz = f(z) - f(a)$ $\forall \gamma \subset D_r(a)$ que una $a$ con $z$. Probaré ahora que $f$ es holomorfa en el disco y su derivada es $g$ para eso tomo $z_0$ fijo y $z_1$ para el primer punto sea una curva cualquiera $\gamma$ que lo una con $a$ luego para $z_1$ tomo la curva $\gamma + S$ donde S es el segmento de recta que va desde $z_0$ y $z_1$. Entonces

$f(z_1) - f(z_0) = \int_{\gamma + S} g(z)dz - \int_{\gamma} g(z)dz = \int_{S} g(z)dz$

$\left| \frac{f(z_1) - f(z_0)}{z_1 - z_0} - g(z_0) \right| =  \int_{S} g(z) dz - g(a)(z_1 - z_0)$

Para continuar, si tomo $z_1$ lo suficientemente cerca de $z_0$ garantizo que $\abs{g(z) - g(a)}$ y por lo tanto de la anterior desiguladad $\abs{\fracc{f(z_1) - f(z_0)}{z_1 - z_0} - g(z_0)} \leq \int_{S} \épsilon \abs{dz}\abs{\fracc{1}{z_1 - z_0}} \leq \epsilon$. Por lo tanto $f$ es derivable en el disco, en particular en $a$, y como $a$ es arbitrario $f$ es derivable en $\Omega$ además su derivada es igual a $g$ por lo tanto la derivada de $f$ es analítca en $a$.