Parciales

Buenas.

En tu primera aplicación del 2.4.5, veo que pusiste $( \exists a,b \in |M| )$ pero deberías haber puesto $( \forall a,b \in |M|)$.

Me parece que tu error es a partir de la linea en que decis:

$( \exists a, b \in |M|) (M|=P1(a) sii M|=P2(a,b))$

Ahí yo usaría la definición de |= y de valuación, y diria que:

$v(P1(a))=1 \Leftrightarrow v(P2(a,b)=1)$

Ya que tenes que M modela a $P1(a)$ sii M modela a $P2(a,b)$, y por definición de |= :

$M|= \gamma \Leftrightarrow v(\gamma)=1$

Entonces, te quedaría algo así:

$( \forall a \in |M|)( \forall b \in |M|)(v(P1(a))=1 \Leftrightarrow v(P2(a,b))=1)$ , y esto se tiene que cumplir para toda M del tipo adecuado.

Que en un paso más quedaría:

$( \forall a \in |M|)( \forall b \in |M|)(v(P1(a))=v(P2(a,b)))$ , para que se cumpla el Si y solo si.

Como tenes que probar eso para toda estructura M del tipo adecuado, tal que M modela a $\Gamma$ (es decir, que M modela a $\gamma_1$, $\gamma_2$ y $\gamma_3$ ), y a priori no tenes todas esas estructuras, a mi me resultó más fácil hacer todo suponiendo que M |- $\gamma$ y tratar de llegar al absurdo. (Recordá que por la parte a, sabemos que $M_1$ modela $\Gamma$ )

Perdoná si quedó media confusa la explicación. Espero haberte ayudado, más que confundido.

Saludos.