La clave es que cuando n <= r entonces b_n^(r) = 1 dado que siempre si tenes menos elementos que el tamaño máximo de ciclos vas a tener ciclos de largo menor o igual a r.
Si hacés el cambio de variable n+1=2*r te queda:
b_{2r}^(r) = b_{2r-1}^(r) - b_r^(r)/2r.
Pero b_r^(r) = 1 por lo que comenté al principio del mail con lo cual te queda
b_{2r}^(r) = b_{2r-1}^(r) - 1/2r.
Si hacés lo mismo para b_{2r-1}^(r) te queda
b_{2r-1}^(r) = b_{2r-2}^(r) - 1/(2r-1).
y así podemos seguir.
Al final, si desarrollas todo te queda:
b_{2r}^(r) = b_{r}^(r)-(1/2r+1/(2r-1)+1/(2r-2)+...+1/(r+1)).
Ahora bien, si sabés que b_{r}^(r) = 1 y el resto es H_{2r}-H_r ya tenes el resultado.
No se si te aclaré la duda.
Tuba.