¿Alguien me ayuda con el límite de la parte b? Gracias
En respuesta a Jorge Gabriel Varela Kuolas
Re: Práctico 4 Sec 1 ej 5
Expresás el límite como "e" elevado a la "algo"
y ese "algo" va a ser el logaritmo natural de la función a la que queremos calcularle el límite.
Por propiedad de logaritmos sacás la "x" de exponente y la pasás multiplicando, y después usas la propiedad de que L(x) equivale a x-1 cuando x tiende a uno, y con eso te sacás el logaritmo de arriba.
A esta altura la cosa te va quedando:
\( \lim _{x\to \infty }e^{^{\left(\frac{x\left(a^{^{\frac{1}{x}}}\:+\:b^{^{\frac{1}{x}}}\:-2\right)}{2}\right)}} \)
podés dejar el 2 dividiendo a la x, y acomodar lo de adentro del parentesis para que te quede "e" elevado a:
\( \frac{x}{2}\left(a^{^{\frac{1}{x\:\:}}}-1\:+b^{^{\frac{1}{x\:\:}}}-1\right) \)
Y podés usar la misma propiedad de hoy, pero en el otro sentido. L(X) = X-1 (cuando lo de adentro del logaritmo es 1) y en este caso lo que viene a ser "X-1" es el a^1/x -1 y el b^1/x -1 o sea que te quedan L(a^1/x) y L(b^1/x), y por propiedad de logaritmos L(H)+L(K) = L(H.K) y también por propiedad de logaritmos podés sacar el exponente para fuera, así que la cosa va quedando:
\( e^{^{\left(\frac{x}{2}.\:\frac{1}{x}\:L\left(ab\right)\right)}} \)
el x/2 y el 1/x te termina quedando 1/2, así que la cosa es "e" elevado a: L(ab) (1/2), y por propiedad de potencias es lo mismo que que "e" elevado a "L(ab)" y todo eso elevado a "1/2".
Pero "e" elevado al logaritmo de cualquier cosa, va a ser la cosa en sí, en este caso "ab". Entonces te queda ab^1/2
En respuesta a Kevin Esdras Jaureguy Pernas