Nicolás,
Tengo algunas dudas sobre tu resolución. Cuando planteas el flujo magnético aparece un término v(t)t que asumo es la posición, por lo cual, estrictamente, aquí iría la integral de la velocidad. Al derivar para hallar la fem inducida queda únicamente la velocidad y no el tiempo explícitamente. Tal vez por acá viene la confusión,porque en la segunda ecuación que planteas hay un t que no veo de donde sale. Sin este t la ecuación diferencial es mucho más sencilla.
Saludos