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Supongamos con el fin de buscar una contradicción que $\sqrt3$ es racional, esto es, se puede escribir como una fracción $\frac{a}{b}$ que tiene como máximo común divisor 1 ($\gcd({b},{a})=1$). Entonces:

$\rightarrow \sqrt3 = \frac{a}{b}$

Elevando al cuadrado:

$\rightarrow 3 = \frac{a^2}{b^2}$

$\rightarrow 3b^{2} = a^2$. Considerando esta igualdad, tenemos que $3$ es factor de $b^2$. Entonces, $a^2$ es divisible entre $3$, y $a$ también es divisible entre $3$ (esto es algo que hay que probar), esto es, se puede escribir de la forma $3k$.

$\rightarrow 3b^{2} = (3k)^{2}$

$\rightarrow 3b^{2} = 9k^{2}$

$\rightarrow b^{2} = 3k^{2}$. Llegamos a que $b^{3}$ también es divisible entre 3. Teniendo que $a^{2}$ también es divisible entre 3:

$\rightarrow \gcd({b^{2}},{a^{2}}) = 3$, llegamos a una contradicción. Nuestra hipótesis inicial debe ser falsa, por tanto $\sqrt3$ no puede ser racional.

Recomiendo revisar esta prueba ya que puede tener algún error o toque mágico, y no la he corroborado del todo.

Saludos.