Demostración raiz de 3

Demostración raiz de 3

de Natalia Bourdiel Albarracin -
Número de respuestas: 1

Alguien podria darme una mano con la demostración  de qie raiz de 3 no es racional? Seguí el consejo que dice el practico pero no se si voy bien, alguna guía? 

En respuesta a Natalia Bourdiel Albarracin

Re: Demostración raiz de 3

de Christian Javier Tejeda Farias -

Supongamos con el fin de buscar una contradicción que \sqrt3 es racional, esto es, se puede escribir como una fracción \frac{a}{b} que tiene como máximo común divisor 1 (\gcd({b},{a})=1). Entonces:

\rightarrow \sqrt3 = \frac{a}{b}

Elevando al cuadrado:

\rightarrow 3 = \frac{a^2}{b^2}

\rightarrow 3b^{2} = a^2. Considerando esta igualdad, tenemos que 3 es factor de b^2. Entonces, a^2 es divisible entre 3, y a también es divisible entre 3 (esto es algo que hay que probar), esto es, se puede escribir de la forma 3k.

\rightarrow 3b^{2} = (3k)^{2}

\rightarrow 3b^{2} = 9k^{2}

\rightarrow b^{2} = 3k^{2}. Llegamos a que b^{3} también es divisible entre 3. Teniendo que a^{2} también es divisible entre 3:

\rightarrow \gcd({b^{2}},{a^{2}}) = 3, llegamos a una contradicción. Nuestra hipótesis inicial debe ser falsa, por tanto \sqrt3 no puede ser racional.

Recomiendo revisar esta prueba ya que puede tener algún error o toque mágico, y no la he corroborado del todo.

Saludos.