• Esta es una bitácora del curso teórico. Aquí se detallarán los temas abordados en cada una de las clases.

    Se indican además las páginas correspondientes en la bibliografía del curso.

      1. (5/3) Presentación del curso, objetivos y formas de evaluación. Panorama del curso y aspectos históricos. Repaso de la estructura algebraica del campo de números complejos. Interpretación geométrica y esfera de Riemann. AHLFORS : Ch. 1 (pp. 1-20) PÉREZ : Cap. 1 secciones 1.1 y 1.2 (pp. 1-12).
      2. (11/3) Límites y Continuidad. Funciones analíticas, ecuaciones de Cauchy-Riemann. AHLFORS : Ch. 2 Sec. 1.1 y 1.2 (pp. 1-26) PÉREZ : Cap. 1 Sección 1.4 (pp. 30-37)
      3. (12/3) Series de potencias. AHLFORS : Ch. 2 Sec. 2 (pp. 33-40) PÉREZ : Cap. 1 Sec. 1.5 (pp. 40-50) nota : este tema se aborda a lo largo de las siguientes dos clases también.
      4. (19/3) Transformaciones de Moebius. AHLFORS : Ch. 3 Sec. 3.1 y 3.2 nota en clase no utilizamos la razón doble (cross ratio) para probar que preservan la familia de rectas y circunferencias, pero su lectura es muy recomendable. PÉREZ : Cap. 5 Sec. 5.3 (pp. 252-257)
      5. (25/3) Convergencia absoluta y uniforme. Prueba de que las series de potencias son holomorfas. (ver referencias de la clase del 12/3, especialmente AHLFORS pp.38-40.
      6. (1/4) Integración compleja, definición, propiedades. Equivalencia entre existencia de primitiva e integración nula sobre todas las curvas cerradas. AHLFORS : Ch. 4 Sec. 1 (pp.101-114) PÉREZ : Cap. 2 Sec. 2.1 a 2.4 (pp. 75-100)
      7. (2/4) Teorema de Cauchy en un rectángulo (Prueba de Goursat, AHLFORS pp 109-111).
      8. (8/4) Índice de un punto respecto a una curva. Fórmula de Cauchy. AHLFORS : Ch. 4 Sec. 2 (pp. 114-119)
      9. (8/4 - segunda clase)  Derivadas de orden superior. Estimación de Cauchy. Teorema de Liouville y teorema fundamental del Álgebra. AHLFORS : Ch. 4 Sec. 2 (pp 120 - 123).
      10. (9/4) Singularidades evitables. Teorema de Taylor. Órdenes de ceros y de polos. Singularidades esenciales, Teorema de Weierstrass. (AHLFORS : Ch. 4 Sec. 3 (pp. 124-129)
      11. (22/4) Teorema de los Residuos y ejemplos (AHLFORS : Ch. 4 Sec. 5) Nota : se vio intuitivamente el concepto de curva "homóloga a cero" para regiones no simplemente conexas, se vio que la condición es satisfecha en regiones simplemente conexas, y en particular se trató el ejemplo de curvas borde de una sub-región. Ejemplos de cálculo de residuos, fórmula para el residuo en un polo de orden arbitrario.
      12. (22/4 - segunda clase) Ejemplos, en particular descripción del la singularidad esencial de f(z)=exp(1/z) en z=0.
      13. (23/4) Práctico 7.
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