\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
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% Definici\'{o}n de la hoja
\textheight 24cm \textwidth 17cm \topmargin -10mm \oddsidemargin
-3mm \evensidemargin -3mm

% Sangr\'{\i}as del primer rengl\'{o}n
\setlength{\parindent}{0pt}

\renewcommand{\baselinestretch}{1.2}

\pagestyle{empty} \pagenumbering{arabic}

\newcounter{ej}
\setcounter{ej}{0}
\newcommand{\ej}{
     \stepcounter{ej}
     \vskip 3mm
     \par\noindent{\bf Ejercicio \arabic{ej}.\newline}\;
     }

     \newcounter{des}
\setcounter{des}{0}
\newcommand{\des}{
     \stepcounter{des}
     \vskip 3mm
     \par\noindent{\bf Ejercicio \arabic{des}.}\;

     }
\newcommand{\A}{}
\newcommand{\B}{}
\newcommand{\C}{}
\newcommand{\D}{}
\newcommand{\E}{}
\newcommand{\1}{}
\newcommand{\2}{}
\newcommand{\3}{}
\newcommand{\4}{}
\newcommand{\5}{}

\newcommand{\poneropciones}{
   \begin{enumerate}
    \item[(A)] \1
    \item[(B)] \2
    \item[(C)] \3
    \item[(D)] \4
    \item[(E)] \5
   \end{enumerate}
   }
\newcommand{\poneropcionesh}{
   \begin{enumerate}
    \item[(A)]\1 \hfill
    (B) \2 \hfill
    (C) \3 \hfill
    (D) \4 \hfill
    (E) \5 \hfill
   \end{enumerate}
   }
   \newcommand{\poneropcioneshr}{\begin{center}

   \begin{tabular}{|l|l||l|l||l|l||l|l|}
\hline
%$& & & & & & & \\
 %\multicolumn{2}{|c||}{\rule{0cm}{0.5mm}}&\multicolumn{2}{c||}{\rule{0cm}{0.5mm}}&
 %\multicolumn{2}{c||}{\rule{0cm}{0.5mm}}&\multicolumn{2}{c|}{\rule{0cm}{0.5mm}}\\
    \rule[-.54cm]{0cm}{1.3cm}(A)& \1 &
    (B) & \2 &
    (C)& \3 &
    (D)& \4\\
   %\rule{0cm}{-5mm}& & & & & & & \\
   %\multicolumn{2}{|c||}{\rule{0cm}{1mm}}&\multicolumn{2}{c||}{\rule{0cm}{1mm}}&
   %\multicolumn{2}{c||}{\rule{0cm}{1mm}}&\multicolumn{2}{c|}{\rule{0cm}{1mm}}\\
    \hline
   \end{tabular}
    \end{center}}

\newcommand{\poneropcionestrescol}{
\begin{center}
    \begin{tabular}{llllll}
    (A)& \1 &
    (B) & \2 & (C)& \3\\
    %\hline
    & & &  \\
    (D)& \4 &
    (E)& \5 & & \\
   \end{tabular}
\end{center}}

\newcommand{\poneropcionesdosfil}{
   \begin{enumerate}
     \item[(A)] \1 \hfill
     (B) \2 \hfill
     \item[]  \hfill
     (C) \3 \hfill
     (D) \4 \hfill
     (E) \5 \hfill\phantom{.}
   \end{enumerate}}

\newcommand{\ordenejA}{
\ej \input{Mo/mo06}
\ej \input{Mo/mo02}
\ej \input{Mo/mo03}
\ej \input{Mo/mo04}
\ej \input{Mo/mo10}
}

\newcommand{\ordenejB}{
}


\newcommand{\ordenejC}{

}

\newcommand{\ordenejD}{

}

% ORDEN DE LAS OPCIONES
     \renewcommand{\1}{\A}
     \renewcommand{\2}{\B}
     \renewcommand{\3}{\C}
     \renewcommand{\4}{\D}
     \renewcommand{\5}{\E}

%orden de los ejercicios.

\newcommand{\ponerejercicios}{\ordenejA}

\begin{document}
\noindent {\bf Universidad de la Rep\'{u}blica -  Facultad de Ingenier\'{\i}a - IMERL} \hfill {\bf C\'alculo 1}
\vspace{3mm}

\begin{center}
{\sc Segundo parcial - 9 de julio de 2014 \quad Duraci\'on: 3 horas \\ Respuestas MO, Solución y letra versión 1}
\end{center}

\begin{itemize}
\item[Versión 1:] ``Sea $f$ continua...'' C C A C B
\item[Versión 2:] ``Sea $\alpha$ un numero real...''  D D A B D 
\item[Versión 3:] ``Calcular la integral...'' D D D A E
\item[Versión 4:] ``El grado mínimo...'' D B B B E
\end{itemize}

\begin{center}
{\large{\bf M\'{u}ltiple opci\'{o}n}} \bf{(Total: 30 puntos)

\medskip

En cada pregunta hay una sola opci\'{o}n correcta.}

\medskip

\begin{tabular}{lll}
{ Respuesta correcta: 6 puntos }& { Respuesta
incorrecta: -1,5 puntos} & { No responde: 0 punto} \\
\end{tabular}
\end{center}

Sugerencia: puede ser de utilidad la siguiente tabla $\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
$x$ &   $\pi/6$ & $\pi/4$ & $\pi/3$\\ \hline
$\cos x$ & $\sqrt{3}/2$ & $\sqrt{2}/2$ & $1/2$\\
${\rm sen\,}x$ & $1/2$ & $\sqrt{2}/2$ & $\sqrt{3}/2 $ \\ \hline
\end{tabular}$

\begin{multicols}{2}

\ponerejercicios

\end{multicols}

\newpage
\noindent {\bf Universidad de la Rep\'{u}blica - Facultad de Ingenier\'{\i}a - IMERL} \hfill {\bf C\'{a}lculo 1}
\vspace{3mm}

\begin{center}
{\sc Segundo parcial - 9 de julio de 2014  \quad Duraci\'on: 3 horas \\ Respuestas MO, Solución y letra versión 1}
\end{center}

\setcounter{ej}{0}
\begin{center}
{\large{\bf Desarrollo}} \textbf{(Total: 30 puntos) Justificar las respuestas.}

\medskip

\end{center}

\ej \textbf{(15 puntos)}

Tenemos un cono de altura $h$ y radio en la base $r$.
\begin{enumerate}
\item
Sabemos (no se pide demostrar) que el área de revolución engendrada por el giro de la
curva $y=f(x)$, $x \in [a,b]$, alrededor del eje $Ox$ es:
$$ A = 2 \pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx $$
Calcular el área de la superficie del cono de revolución (sin base)
de altura $h$ y radio de la base igual a $r$. 

$$ A = 2 \pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx = 2 \pi \int_0^h \frac{r}{h}x \sqrt{1 + \left(\frac{r}{h}\right)^2} dx = \pi r \sqrt{h^2 + r^2}$$

\item Deducir la fórmula del volumen del cuerpo de revolución que resulta de
girar la curva $y=f(x)$, $x \in [a,b]$, alrededor del eje $Ox$.

Se tiene que 
$$ V = \pi \int_a^b f^2(x) dx$$
Para deducirlo se considera una partición $P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ del intervalo $[a,b]$, tal que $lim_{n\to+\infty}|P|=0$. Para cada intervalo de la $[x_i,x_{i+1}]$ se considera el cilindro de altura $x_{i+1}-x_i$ y radio $f(\bar{x}_i)$, siendo $\bar{x}_i\in [x_i,x_{i+1}]$ y  $X=\{\bar{x}_1,\ldots,\bar{x}_n\}$ un conjunto admisible para la partición $P$. Dicho cilindro tiene volumen $V_i$.  El volumen del sólido de revolución  se calcula como 
$$V=\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=1}^nV_i=\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})(f(\bar{x}_i))^2\pi$$
Como $\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})(f(\bar{x}_i))^2\pi$ es la suma de Riemman $SR(\pi f^2,P,X)$ y la función es continua tenemos que 
$$V=\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})(f(\bar{x}_i))^2\pi=\lim_{n\to+\infty}SR(\pi f^2,P,X)=\int_a^b\pi f^2$$

\item Calcular el volumen del cono de revolución de altura $h$ y radio de la base igual a $r$.


Se tiene que 
$$ V= \pi \int_a^b f^2(x) dx =  \pi \int_0^h \frac{r^2}{h^2} x^2 dx =  \frac{\pi}{3} r^2 h $$

\item 
Una marca famosa de helados está lanzando un nuevo cono helado. El cono debe llevar $50\pi\ {\rm cm}^3$ de helado (y no puede sobresalir del cono). El material que se usa para hacer el envoltorio es costoso, por tanto se quiere que el cono tenga la menor superficie posible. Calcular $h$ y $r$ del nuevo cono helado.

$$ V = \frac{\pi}{3} r^2 h = 50\pi \Rightarrow h = \frac{150}{r^2} $$

Considera la superficie del cono como función de $r$, luego 
$$ A(r) = \pi r \sqrt{h^2 + r^2} = \frac{\pi}{r} \sqrt{150^2 + r^6} $$
y buscamos extremos relativos
$$A'(r)= \frac{2 \pi r^6 - 150^2 \pi}{r^2 \sqrt{150^2 + r^6}} $$
y hay un extremos relativo en $r=\sqrt[6]{\frac{150^2}{2}}$, que se puede ver que es un mínimo absoluto estudiando el signo de $A'(r)$, y se obtiene $h=\sqrt[3]{300}$.
\end{enumerate}

\ej \textbf{(15 puntos)}
\begin{enumerate}
\item Sea $f:[a,b]\to{\mathbb R}$ una funci\'on seccionalmente continua. Considerar la funci\'on:
$$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt.$$
Asumiendo los teoremas del valor medio, demostrar:
\begin{enumerate}
 \item $F$ es una funci\'on continua.
 \item Si $f$ es continua en $x_0$ entonces $F$ es derivable en $x_0$ y $F'(x_{0})=f(x_{0})$.
\end{enumerate}

La demostración está en las notas del curso en la página 93. 

\item Sea $f:[-1,1]\to{\mathbb R}$ la funci\'on dada por la gr\'afica, donde $f(0)=1$:
\newline\par
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
 \draw[step=.5cm,gray,very thin] (-1.4,-1.4) grid (1.4,1.4);
\draw (-1.5,0) -- (1.5,0);
\draw (0,-1.5) -- (0,1.5);
 \draw (-1,-1)--(0,0);
 \draw (0,1)--(1,0);
 \node(A) at (-0.2,1) {1};
 \node(B) at (1,-.3) {1};
 \node(C) at (0.2,-1) {-1};
 \node(D) at (-1,0.2){-1};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Hallar la fórmula de $F(x)=\int_{-1}^{x}f(t)dt$ para cada $x \in [-1, 1]$.

Observamos que $$f(t)=\left\{\begin{array}{ll}t & \hbox{si }t\in [-1,0]\\
-t+1& \hbox{si }t\in (0,1]
\end{array}\right.$$
Para  $x\in [-1,0]$ se tiene $$F(x)=\int_{-1}^x t dt=\dfrac{x^2-1}{2}$$ y para  $x\in [0,1]$
se tiene $$F(x)=\int_{-1}^0 t dt+\int_0^1(-t+1)dt=\dfrac{-x^2+2x-1}{2},$$ de donde
$$F(x)=\left\{\begin{array}{ll} \dfrac{x^2-1}{2} & \hbox{si } x\in [-1,0]\\ \\
\dfrac{-x^2+2x-1}{2} & \hbox{si } x\in [0,1]\\
\end{array}\right.$$

\end{enumerate}
\end{document} 