1.2 transformada en funciones

Teoremas del valor inicial y final.

Estos teoremas permiten conocer los valores límites de la función f(t) para t = 0 y t = ∞, sin necesidad de completar la antitransformación.

Supongamos que y existen y son A.C. en un semiplano derecho.

Sabemos que si

Si la integral es U.C., podemos pasar al límite dentro de la integral.

Recordemos resultados de integrales impropias dependientes de un parámetro:

Si C.U. ⇒

• 1�) Hacemos s→∞ (en rigor, ∣s∣→ ∞) en Re(s) > 0

  

  por ser continua en s

  Luego: Es el teorema del valor inicial.

• 2�) Hacemos s → 0

  

  Sustituyendo:

  Es el teorema del valor final.

Para que valga eso, de cambiar el orden del pasaje al límite con la integración, debe ser U.C. en una región que incluya s = 0.

En otras palabras, los polos de F(s) deben estar a la izquierda.

Ej: Sea f(t) = 3Y(t) + 2Y(t)e^-t

Atención: Si f(t) = 2Y(t)e^t

Esto porque F(s) converge para Re(s) > 1. No puedo llegar a 0.

En caso que el semiplano de convergencia sea el semiplano derecho, se prueba que el teorema se cumple si sF(s) no tiene polos en el eje imaginario.