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% MÉTODO DE INTEGRACIÓN DE EULER

% EJEMPLO: dx /dt = - 1/tau * x   siendo x la variable dependiente y tau un parámetro

% esta es una ecuación que tiene solución analítica: x(t) = x(0) exp(-t/tau)

tau = 5;
x0 = 4;

t = 0:20;
x1 = x0*exp(-t/tau);

% Euler "explícito" : f(x(k)) = - 1/tau * x(k)
% x(k+1) = x(k) - delta t / tau * x(k)

Dt = 1;
for k = 1:20
  x2(1) = x0;
  x2(k+1) = (1 - Dt / tau) * x2(k);

% Euler "implícito" : f(x(k+1)) = - 1/tau * x(k+1)
% x(k+1) = x(k) - delta t / tau * x(k+1)

  x3(1) = x0;
  x3(k+1) = 1 / (1 + Dt/tau) * x3(k);
end

plot(t,[x1' x2' x3'])
xlabel ('t')
ylabel ('x')
legend ('exacta','explicito','implicito')

pause

% para Euler "explícito"  x(k+1) = (1 + Dt/tau)^(k+1) * x(0)
% por lo tanto es estable si   abs( 1 - Dt/tau ) < 1

% pero particularmente oscilará si   tau < Dt < 2 tau
Dt = 8;
for k = 1:20 
  x4(1) = x0;
  x4(k+1) = (1 - Dt / tau) * x4(k);
end

plot(t,x4)
xlabel ('t')
ylabel ('x')