# Práctico 4

install.packages("ggplot2")  # Para la visualización
install.packages("broom")   
library(ggplot2)
library(broom)
install.packages("MASS")  # Para la función mvrnorm
library(MASS)

# Ejemplo regresión lineal simple
# Crear un conjunto de datos de ejemplo
datos <- data.frame(
  X = c(1, 2, 3, 4, 5, 8, 7),
  Y = c(2, 4, 5, 4, 5, 9, 6)
)

# Separar la variable X de la Y
X <- datos$X
Y <- datos$Y

# Crear y ajustar el modelo de regresión lineal
modelo <- lm(Y ~ X, data = datos)

# Obtener los coeficientes y mostrarlos
beta <- coef(modelo)
beta1 <- beta["X"]
beta0 <- beta["(Intercept)"]
cat(sprintf("Beta1: %f\n", beta1))
cat(sprintf("Beta0: %f\n", beta0))

# Hacer las predicciones
datos$Y_pred <- predict(modelo, newdata = datos)

# Graficar los resultados
ggplot(datos, aes(x = X, y = Y)) +
  geom_point(color = 'darkviolet', size = 3, shape = 21, fill = 'darkviolet') +
  geom_point(aes(y = Y_pred), color = 'blue', size = 3, shape = 21, fill = 'blue') +
  geom_smooth(method = 'lm', se = FALSE, color = 'orchid', linetype = 'solid') +
  geom_segment(aes(xend = X, yend = Y_pred), color = 'black', linetype = 'dashed') +
  labs(x = 'X', y = 'Y', title = 'Regresión Lineal Simple') +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = 'none')

##########################

# Ejercicio 2

# Definimos las medias y la matriz de varianzas y covarianzas
mu <- c(0, 0)  # Medias de V y U
cov <- matrix(c(1, 0.5, 0.5, 1), nrow = 2)  # Matriz de covarianza con correlación 0.5

# Número de simulaciones
n <- 10000000

# Generamos las muestras de la distribución normal bivariada
samples <- mvrnorm(n = n, mu = mu, Sigma = cov)

# Extraemos las muestras para U y V
V <- samples[, 1]
U <- samples[, 2]

# Calculamos la probabilidad de la región deseada
prob <- mean((V < U) & (V > 0))

# Imprimimos la probabilidad aproximada
cat(sprintf("Probabilidad aproximada: %.4f\n", prob))


# Definir las medias y la matriz de covarianza
mu <- c(0, 0)  # Medias de V y U
cov <- matrix(c(1, 0.5, 0.5, 1), nrow = 2)  # Matriz de covarianzas

# Número de simulaciones
n <- 10000

# Generar las muestras de la distribución normal bivariada
samples <- mvrnorm(n = n, mu = mu, Sigma = cov)

# Extraer las muestras para U y V
V <- samples[, 1]
U <- samples[, 2]

# Condiciones de interés
condition <- (V < U) & (V > 0)

# Calcular la probabilidad de la región deseada
prob <- mean(condition)
cat(sprintf("Probabilidad: %.4f\n", prob))

# Preparar datos para la gráfica
data <- data.frame(V = V, U = U, Condition = condition)

# Graficar los puntos
ggplot(data, aes(x = V, y = U)) +
  geom_point(data = subset(data, Condition), aes(color = 'V < U, V > 0'), alpha = 0.8, size = 2) +
  geom_point(data = subset(data, !Condition), aes(color = 'Otros puntos'), alpha = 0.5, size = 2) +
  geom_vline(xintercept = 0, color = 'black', linetype = 'dashed', size = 1) +
  geom_abline(intercept = 0, slope = 1, color = 'navy', linetype = 'dashed', size = 1) +
  scale_color_manual(values = c('V < U, V > 0' = 'darkviolet', 'Otros puntos' = 'orchid')) +
  labs(x = 'V', y = 'U', title = 'Distribución Normal Bivariada', color = 'Condición') +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = 'top') +
  coord_fixed(ratio = 1)


# Para graficarlo podemos considerar un menor número de muestras, y ver cuál es la región de interés.

# Definir las medias y la matriz de covarianza
mu <- c(0, 0)  # Medias de V y U
cov <- matrix(c(1, 0.5, 0.5, 1), nrow = 2)  # Matriz de covarianza con correlación 0.5

# Número de simulaciones
n <- 10000

# Generar las muestras de la distribución normal bivariada
samples <- mvrnorm(n = n, mu = mu, Sigma = cov)

# Extraer las muestras para U y V
V <- samples[, 1]
U <- samples[, 2]

# Condiciones de interés
condition <- (V < U) & (V > 0)

# Calcular la probabilidad de la región deseada
prob <- mean(condition)
cat(sprintf("Probabilidad: %.4f\n", prob))

# Preparar datos para la gráfica
data <- data.frame(V = V, U = U, Condition = condition)

# Graficar los puntos
ggplot(data, aes(x = V, y = U)) +
  geom_point(data = subset(data, Condition), aes(color = 'V < U, V > 0'), alpha = 0.8, size = 1) +
  geom_point(data = subset(data, !Condition), aes(color = 'Otros puntos'), alpha = 0.5, size = 1) +
  geom_vline(xintercept = 0, color = 'black', linetype = 'dashed', size = 1) +
  geom_abline(intercept = 0, slope = 1, color = 'navy', linetype = 'dashed', size = 1) +
  scale_color_manual(values = c('V < U, V > 0' = 'darkviolet', 'Otros puntos' = 'orchid')) +
  labs(x = 'V', y = 'U', title = 'Distribución Normal Bivariada', color = 'Condición') +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = 'top') +
  coord_fixed(ratio = 1)

#########################

#Ejercicio 3


# Número de observaciones
n <- 6

# Número de grados de libertad
grados_libertad <- n - 2

# Nivel de significancia para un intervalo del 95%
alpha <- 0.05

# Calculamos el valor crítico t
t_crit <- qt(1 - alpha / 2, df = grados_libertad)

# Imprimimos el valor crítico t
cat(sprintf("Valor crítico t para un intervalo de confianza del 95%%: %.4f\n", t_crit))


# Con el siguiente código podemos chequear todo el ejercicio:

# Datos
x <- c(0, 10, 20, 30, 40, 60)
Y <- c(8, 12, 21, 31, 39, 58)

# Número de observaciones
n <- length(x)

# Cálculo de medias
x_mean <- mean(x)
Y_mean <- mean(Y)

# Cálculo de beta1
numerador <- sum((x - x_mean) * (Y - Y_mean))
denominador <- sum((x - x_mean) ^ 2)
beta1 <- numerador / denominador

# Cálculo de beta0
beta0 <- Y_mean - beta1 * x_mean

# Predicciones
Y_pred <- beta0 + beta1 * x

# Cálculo de residuos
residuos <- Y - Y_pred
S_res <- sum(residuos ^ 2)
S_residuos <- S_res / (n - 2)

# Error estándar de beta1
SE_beta1 <- sqrt(S_residuos / sum((x - x_mean) ^ 2))

# Valor crítico t para 95% de confianza y n-2 grados de libertad
t_crit <- qt(0.975, df = n - 2)

# Intervalo de confianza para beta1
CI_beta1 <- c(beta1 - t_crit * SE_beta1, beta1 + t_crit * SE_beta1)

# Imprimir resultados
cat(sprintf("Beta0: %.4f\n", beta0))
cat(sprintf("Beta1: %.4f\n", beta1))
cat(sprintf("t crítico para un intervalo de confianza del 95%%: %.4f\n", t_crit))
cat(sprintf("Error estándar de Beta1: %.4f\n", SE_beta1))
cat(sprintf("Intervalo de confianza del 95%% para Beta1: (%.4f, %.4f)\n", CI_beta1[1], CI_beta1[2]))

# Podemos graficar lo obtenido para verificar que esté correcto.
# Crear un data frame para ggplot2
data <- data.frame(x = x, Y = Y, Y_pred = Y_pred)

# Graficar los datos y la recta de regresión
ggplot(data, aes(x = x, y = Y)) +
  geom_point(color = 'darkviolet', size = 2, shape = 16, label = 'Datos observados') +
  geom_line(aes(y = Y_pred), color = 'orchid', size = 1, linetype = 'solid', label = 'Recta de regresión') +
  labs(x = 'x', y = 'Y', title = 'Regresión Lineal') +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = 'top') +
  scale_color_manual(values = c('Datos observados' = 'darkviolet', 'Recta de regresión' = 'orchid'))


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# Ejercicio 4

# Datos
data <- data.frame(
  Altura_cm = c(163, 163, 165, 166, 168, 169, 170, 170, 171, 172, 172, 174),
  Peso_kg = c(62, 63, 65, 67, 68, 69, 70, 72, 71, 70, 72, 74)
)

# Creamos el gráfico de dispersión
ggplot(data, aes(x = Altura_cm, y = Peso_kg)) +
  geom_point(color = 'orchid', size = 3, shape = 16, label = 'Datos') +
  labs(title = 'Altura vs. Peso', x = 'Altura (cm)', y = 'Peso (kg)') +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = 'none')