Integral de la funcion inversa

En la imagen se muestra el gráfico de la función biyectiva \(f:[1,5] \to [\frac{1}{2}, 5 - \frac{1}{5} + \frac{1}{2}]\) dada por la expresión

\(f(x) = x - \frac{1}{x} + \frac{1}{\pi}\sin(\pi x) + \frac{1}{2}\)

En la imagen se muestra una partición \(P\) de \(6\) puntos \(\{a_{0}=1,...a_{5}= 5\}\) del intervalo \([1,5]\), así como una partición \(Q\) de 6 puntos \(\{b_{0}=f(a_{0})=1/2,...,b_{5}=f(5)\}\) del intervalo \([f(a_{0}),f(a_{5}))]\) donde precisamente \(b_{i} = f(a_{i})\). Los puntos marcados como \(c_{i}\) son \(c_{i} = (a_{i},f(a_{i}))\).

Los puntos \(a_{i}\) pueden desplazarse y se muestra \(S_{*}(f,P)\) y \(S^{*}(f^{-1},Q)\) y su suma (que es constante).

Esta suma queda constante ya que la región azul (\(S^{*}(f^{-1},Q)\)) unida a la región roja (\(S_{*}(f,P)\)) unida al rectángulo de vértices opuestos \((0,0),\, (a_{0},f(a_{0}))\) da el rectángulo de vértices opuestos \((0,0),\, (a_{5},f(a_{5}))\).

Esta propiedad vale para toda partición \(P\) del intervalo \([1,5]\) y \(Q = f(P)\). es decir se puede probar que la fórmula es valida en sumas

\(S_{*}(f,P) + S^{*}(f^{-1},Q) + 1f(1) = 5f(5)\)

Tomando supremo en \(S_{*}(f,P)\) tenemos que

\(\int_{1}^{5} f(t)\,dt + S^{*}(f^{-1},Q) +1f(1) \geq 5f(5)\)

Este resultado lo tenemos para toda partición \(Q\) del intervalo \([f(1),f(5)]\) (ya que basta tomar \(P = f^{-1}(Q)\))

Recordando que la función \(f^{-1}\) es monótona (pues \(f\) lo es) es integrable. Tomando ínfimos tenemos que

\(\displaystyle \int_{f(1)}^{f(5)}f^{-1}(s)\, ds \geq 5f(5) - 1f(1) - \int_{1}^{5} f(t)\,dt\)

Si tomamos sumas superiores para \(f\) e inferiores para \(f^{-1}\) y repetimos el argumento concluimos de forma análoga que

\(\displaystyle \int_{f(1)}^{f(5)}f^{-1}(s)\, ds \leq 5f(5) - 1f(1) - \int_{1}^{5} f(t)\,dt\)

es decir concluimos que vale la fórmula

\(\displaystyle \int_{1}^{5} f(t) \,dt + \int_{f(1)}^{f(5)} f^{-1}(s)\, ds + 1f(1) - 5f(5) = 0\)