Integral de la funcion inversa

En la imagen se muestra el gráfico de la función biyectiva $f:[1,5] \to [\frac{1}{2}, 5 - \frac{1}{5} + \frac{1}{2}]$ dada por la expresión

$f(x) = x - \frac{1}{x} + \frac{1}{\pi}\sin(\pi x) + \frac{1}{2}$

En la imagen se muestra una partición $P$ de $6$ puntos $\{a_{0}=1,...a_{5}= 5\}$ del intervalo $[1,5]$, así como una partición $Q$ de 6 puntos $\{b_{0}=f(a_{0})=1/2,...,b_{5}=f(5)\}$ del intervalo $[f(a_{0}),f(a_{5}))]$ donde precisamente $b_{i} = f(a_{i})$. Los puntos marcados como $c_{i}$ son $c_{i} = (a_{i},f(a_{i}))$.

Los puntos $a_{i}$ pueden desplazarse y se muestra $S_{*}(f,P)$ y $S^{*}(f^{-1},Q)$ y su suma (que es constante).

Esta suma queda constante ya que la región azul ($S^{*}(f^{-1},Q)$) unida a la región roja ($S_{*}(f,P)$) unida al rectángulo de vértices opuestos $(0,0),\, (a_{0},f(a_{0}))$ da el rectángulo de vértices opuestos $(0,0),\, (a_{5},f(a_{5}))$.

Esta propiedad vale para toda partición $P$ del intervalo $[1,5]$ y $Q = f(P)$. es decir se puede probar que la fórmula es valida en sumas

$S_{*}(f,P) + S^{*}(f^{-1},Q) + 1f(1) = 5f(5)$

Tomando supremo en $S_{*}(f,P)$ tenemos que

$\int_{1}^{5} f(t)\,dt + S^{*}(f^{-1},Q) +1f(1) \geq 5f(5)$

Este resultado lo tenemos para toda partición $Q$ del intervalo $[f(1),f(5)]$ (ya que basta tomar $P = f^{-1}(Q)$)

Recordando que la función $f^{-1}$ es monótona (pues $f$ lo es) es integrable. Tomando ínfimos tenemos que

$\displaystyle \int_{f(1)}^{f(5)}f^{-1}(s)\, ds \geq 5f(5) - 1f(1) - \int_{1}^{5} f(t)\,dt$

Si tomamos sumas superiores para $f$ e inferiores para $f^{-1}$ y repetimos el argumento concluimos de forma análoga que

$\displaystyle \int_{f(1)}^{f(5)}f^{-1}(s)\, ds \leq 5f(5) - 1f(1) - \int_{1}^{5} f(t)\,dt$

es decir concluimos que vale la fórmula

$\displaystyle \int_{1}^{5} f(t) \,dt + \int_{f(1)}^{f(5)} f^{-1}(s)\, ds + 1f(1) - 5f(5) = 0$