Integral de la funcion inversa
Integral de la funcion inversa
En la imagen se muestra el gráfico de la función biyectiva dada por la expresión
En la imagen se muestra una partición de
puntos
del intervalo
, así como una partición
de 6 puntos
del intervalo
donde precisamente
. Los puntos marcados como
son
.
Los puntos pueden desplazarse y se muestra
y
y su suma (que es constante).
Esta suma queda constante ya que la región azul () unida a la región roja (
) unida al rectángulo de vértices opuestos
da el rectángulo de vértices opuestos
.
Esta propiedad vale para toda partición del intervalo
y
. es decir se puede probar que la fórmula es valida en sumas
Tomando supremo en tenemos que
Este resultado lo tenemos para toda partición del intervalo
(ya que basta tomar
)
Recordando que la función es monótona (pues
lo es) es integrable. Tomando ínfimos tenemos que
Si tomamos sumas superiores para e inferiores para
y repetimos el argumento concluimos de forma análoga que
es decir concluimos que vale la fórmula