F2 - 2S: Unforgettable :: Ondas Sinusoidales: Perturbación en una cuerda

Perturbación en una cuerda

La película muestra la perturbación de una cuerda en el espacio (coordenada x de la cuerda, medida en metros) y en el tiempo (t, medida en segundos): $y(x,t)$ , medida en metros.

Antes de iniciarse la película $(t < 0)$ , la cuerda se extiende a lo largo del eje x. Ningún punto de la cuerda está perturbado, por lo que su posición transversal inicial es: $y(x,t$

Un agente externo ubicado en

$x=0$ , mueve transversalemente el extremo izquierdo (movimiento del círculo hacia arriba y hacia abajo de la figura). El movimiento de ese punto indica que la cuerda se perturba en

$x=0$ y, entonces:

$y(x=0,t)=f(t)$ , siendo

$f(t)$ (para el caso mostrado) una función sinusoidal:

$y(x=0,t)=f(t)=-y_0 \sin(\omega t) \ \ \forall t\geq 0$

La figura muestra, también, que la perturbación de la cuerda en $x=0$ , antes de comenzar el video, era nula: $y(x=0,t$

A medida que pasa el tiempo, o sea que se reproduce el video, observamos que todos los puntos de la cuerda se van perturbando porque la perturbación que se produce en $x=0$ se transporta con velocidad $v$ a lo largo de la cuerda:

$y(x,t)=-y_0\sin(\omega t-k x)=y_0\sin(kx-\omega t)$

Si nos concentramos en un punto cualquiera que se encuentra en la posición, $x_0$ , advertimos que la perturbación de dicho punto, al igual que la perturbación en $x=0$ , cambia en el tiempo: $y(x_0,t)$ . La velocidad con la que se da ese cambio es la velocidad transversal de la cuerda en ese punto y se calcula como:

$\frac{\partial y}{\partial t}(x_0,t)=-y_0\omega\cos(k x_0-\omega t)$

Por otro lado, también podemos graficar la perturbación de la cuerda, para un tiempo particular $t_0$ .

$y(x,t_0)=y_0\sin(kx-\omega t_0)$

La figura muestra que dicho tiempo fue suficiente como para que se produzcan sólo dos perturbaciones sinusoidales completas a lo largo de la cuerda. Por lo tanto, la perturbación todavía no llegó a puntos sobre la cuerda que se encuentran en posiciones $x>2 m$ .

La pendiente de la perturbación en un punto particular $x_0$ , para este tiempo particular $t_0$ está dada por:

$\frac{\partial y}{\partial x}(x_0,t_0)=y_0 k \cos(k x_0-\omega t_0)$