Cuidado que la definición de límite no es exactamente la que escribiste (en particular tené ojo con la diferencia entre "entonces" y "para todo").
No sé si entiendo tu duda, pero un ejemplo de para qué sirve el n0 (parecido a lo que decís pero en límites infinitos) es justamente la demostración de que es cierta la primera pregunta que planteaste:
Si an diverge a +∞, entonces para todo K existe n0 tal que para todo n≥n0 vale que an > K.
Para cualquier K que te tomes, sea H el mínimo entre los siguientes números: a0, a1, a2,..., a(n0)-1, K
(o sea, H es un número menor o igual que K y que todos los términos an con n<n0)
Entonces podés probar que H≤an para todo n, esto es, H es una cota inferior de la sucesión.