Ojo con hacer todas las combinaciones posibles de signos entre las funciones. Puede pasar que en la realidad alguna de esas combinaciones nunca se dé.
Para resolver este tipo de ejercicios, tenemos que recordar la def. de valor absoluto:
$$ |x|=\begin{cases} -x & \text{ , si } x < 0 \\ x & \text{ , si } x \geq 0\end{cases}$$
Es decir, el valor absoluto se comporta distinto según el signo de lo que está adentro. En este caso particular, estudiando el signo de las funciones involucradas, tenemos 3 zonas:
- Si $$x>5$$: en esta zona $$x+1>0$$ y $$x-5>0$$, por lo que $$|x+1|=x+1$$ y $$|x-5|=x-5$$. Por lo tanto, la desigualdad queda:
$$ |x-5|< |x+1|\Leftrightarrow x-5 < x+1 \Leftrightarrow -5 < 1$$
Finalmente, la solución será la unión de las soluciones de cada zona, es decir, $$(2,5]\cup (5,+\infty) = (2,+\infty)$$.
Vale la pena observar que el caso $$x+1<0$$ y $$x-5>0$$ nunca se da.
Saludos
Por lo tanto, la desigualdad es cierta para todo $$x$$ en la zona, es decir para todo $$x>5$$.
- Si $$x\in [-1,5]$$: en esta zona $$x+1\geq 0$$ y $$x-5 \leq 0$$, por lo que $$|x+1|=x+1$$ y $$|x-5|=-(x-5)=-x+5$$. Por lo tanto, la desigualdad queda:$$ |x-5|< |x+1|\Leftrightarrow -x+5 < x+1 \Leftrightarrow x > 2$$
Entonces la solcuión en esta zona es $$x \in (2,5]$$, ya que esos son los $$x$$ de la zona que son mayores que 2.
- Si $$x<-1$$: en esta zona $$x+1<0$$ y $$x-5<0$$, por lo que $$|x+1|=-(x+1)=-x-1$$ y $$|x-5|=-(x-5)=-x+5$$. Por lo tanto, la desigualdad queda:$$ |x-5|< |x+1|\Leftrightarrow -x+5 < -x-1 \Leftrightarrow 5 < -1$$
por lo que en la zona no hay solución.
Finalmente, la solución será la unión de las soluciones de cada zona, es decir, $$(2,5]\cup (5,+\infty) = (2,+\infty)$$.
Vale la pena observar que el caso $$x+1<0$$ y $$x-5>0$$ nunca se da.
Saludos