Ayer me consultaron por un error que se encontró en la parte c) del ejercicio, en el cual utilizando la expresión sugerida para la tangente hiperbólica da una impudencia real negativa.
En la letra dice que se puede utilizar tgh(α+jβ)l = (senhαl + jsenβl)/(coshαl * cosβl) para evaluar en l3 = λ/2 , pero es un error. Esa expresión no es una identidad, sino que solo una aproximación a la tgh(z) en el entorno de z=0 (lo pueden ver ustedes mismos graficando la función, además intentar demostrar esa igualdad van a llegar a que es falsa).
Disculpen el error, lo corregiremos para la próxima edición de los prácticos.
Como sugerencia para resolver el problema les aconsejo hacer lo siguiente:
1) Usar tgh[(α+jβ)l]= tgh[(α+jβ)l - jπ] Es decir, usar que la tanh es periódica respecto a la parte imaginaria ( esto lo pueden probar fácilmente usando la definición de tgh)
2) Evaluar en l=λ/2 : tgh[αl3 +jπ - jπ] = tgh(αl3)
3) Dado que αl3 es pequeño, se puede hacer un desarrollo de Taylor hasta orden 1 en el entorno de 0: tgh(αl3) ≈ tgh(0) + tgh'(0) ·αl3 = αl3
En el punto 3 en lugar de Taylor podrían haber usado la expresión sugerida en la letra, ya que ahora sí estamos en el entorno de 0 y es válida, al no tener el jπ sumando, pero creo los puntos 1,2,3 son más adecuados y no hay que hacer uso de una fórmula aproximada para tgh que no se sabe bien de donde sale.
Saludos.