Si llamamos
$$a_n = \frac{n^2}{3^n(n^2+1)}$$, entonces
$$a_n \sim (1/3)^n$$ para $$n \rightarrow \infty$$. Por lo tanto la primer serie es convergente (mismo comportamiento que una geométrica de razón 1/3).
La serie de
$$b_n = \log \left\( \frac{n+1}{n} \right\)= \log{(n+1)} - \log n$$
es una telescópica. Por lo tanto su suma parcial hasta n es
$$\log{(n+1)} - \log 1 = \log{(n+1)} \rightarrow \infty$$, para $$n \rightarrow \infty$$, con lo cual la serie correspondiente diverge.
Por último, la integral en (III) es de término general
$$5 a_n + 3 b__n$$, por lo tanto la serie es divergente.
Espero ayude.
Sebastián.