Gráficamente te das cuenta que una función es par cuando es simétrica respecto al eje Y, y una función es impar cuando es simétrica respecto al eje X.
Si no, para no estar graficando, lo que podes hacer es ver si f(x)=f(-x). En ese caso la función es par. Una función en cambio es impar si f(x)=-f(-x)
Algunos ejemplos pueden ser x^2 en funciones pares, porque aunque tomes un número negativo, seguirá siendo positivo, y un ejemplo de una función impar es x^3.
Te sirve para integrales porque la integral de una función par que los límites de integración son -A y A, podes decir que esa integral es igual a la integral de la misma función multiplicada por dos con los límites de integración desde 0 a A, y convertirla en una integral positiva. Por otro lado la integral de una función impar que va desde -A a A, es igual a 0. Creo que en un práctico había que demostrar eso. Espero haber sido clara.