Schwartz define un isomorfismo entre una función sobre la circunferencia y un periodo de alguna función periódica sobre R. Por definición no podés tomar infinitos periodos sobre la circunferencia: el dominio es "una sola vuelta" de la circunferencia. Dado cualquier punto de la circunferencia, tiene una y solo una imagen. Podés tomar una parametrización de la circunferencia y pensar en la función sobre ella como función de ese parámetro, si te queda más claro.
El soporte es acotado para cualquier función definida así porque el dominio completo (la circunferencia) es acotado. Es como si dijeras "voy a definir funciones sobre el intervalo [0, 1], entonces cualquier función definida ahí es de soporte acotado". Y sí, va a ser de soporte acotado necesariamente (el soporte puede ser el dominio entero o una parte de él, nunca más grande). La circunferencia se presta naturalmente para un isomorfismo con funciones periódicas, porque al llegar al "final" volvés al "principio", y de ahí la utilidad, pero por lo demás el argumento sería el mismo.
La función idénticamente 1 original (sobre R) sigue siendo de soporte no acotado, pero su equivalente sobre la circunferencia está definido sobre una vuelta (por ejemplo, entre 0 y 2pi, si tomás una parametrización estándar).