Foro de Consultas de Evaluaciones Anteriores

Hola, Gabriel. ¿Cómo estás? Si conseguiste combinar las ecuaciones dinámicas en una ecuación diferencial ya tienes bastante avanzado el ejercicio y falta muy poco para completarlo. Te explico los pasos en detalle, pero si vas siguiendo las cuentas en papel verás que no lleva demasiado.

Típicamente el cambio de variable que hay que hacer es un cambio del origen de tal manera de que la nueva variable mida la separación con respecto al punto de equilibrio. Para fijar ideas, supongamos que ya llegamos a una ecuación diferencial no homogénea para cierta cantidad $u(t)$ (puede ser una posición, un ángulo, etc.) que tiene la forma

$A \dfrac {d^2 u} {dt^2} + C u = D$

con $A$, $C$ y $D$ constantes. Si el sistema posee una posición de equilibrio para cierto valor $u_e$, entonces la función constante $u(t) =u_e$ debe ser una solución de la ecuación diferencial, que representa al sistema fijo en ese valor. Las derivada segunda de esta función constante es cero, y entonces se tiene que cumplir

$C u_e = D  \leftrightarrow u_e = - \dfrac D C$

con lo cual hemos determinado la posición de equilibrio. Físicamente corresponde a la posición en la cual la fuerza neta y el torque neto se anulan. Utilizando este valor, definimos una variable para el caso general que corresponda a la separación entre $u(t)$ y $u_e$:

$v(t) = u(t) - u_e$

Es claro que las derivadas de $u(t)$ y $v(t)$ coinciden (pero estaría bueno que lo demuestres), y que además $u(t) = v(t) + u_e$. Entonces podemos escribir la ecuación diferencial que teníamos usando $v(t)$:

$A \dfrac {d^2 v}{dt^2} + C(v+u_e) = D$

Ahora podemos utilizar el valor de $u_e$ que habíamos encontrado y verificar que efectivamente la ecuación que nos queda es homogénea (te queda como ejercicio completar los detalles):

$A \dfrac{d^2 v}{dt^2} + C v = 0$

También podríamos haber escrito la ecuación que queríamos obtener en primer lugar, y de allí deducir que el cambio de variables necesario era, precisamente, $v(t) = u(t) + D/C$, aunque este camino es más abstracto.

Podemos dividir la ecuación entre $A$ (se podría haber hecho al principio) y llegamos a la ecuación del movimiento armónico simple para la variable $v(t)$:

$\dfrac {d^2 v}{dt^2} + \omega^2 v = 0$

donde $\omega^2 = C/A$. Una de las cosas interesantes que ocurre es que la frecuencia angular no se ve afectada en realidad por el cambio de variables que hicimos, y entonces podríamos haberla encontrado inmediatamente a partir de nuestra primera ecuación si ignorábamos la constante $D$. Lo que sí debemos recordar es que para escribir la solución de la ecución original tenemos que deshacer el cambio de variables:

$u(t) = u_e + v(t) = -\dfrac D C + A_0 \cos {(\omega t + \varphi)}$

hallando las constantes $A_0$ y $\varphi$ en función de las condiciones iniciales.