Foro de consultas de teórico

Buenas, estaba revisando las notas y me fueron surgiendo algunas dudas mientras las leía:

1. ¿Hay alguna diferencia entre la norma matricial y la norma matricial inducida?, esta me surgió leyendo la definición 2.5.2 y la propiedad 2.5.1
2. con esta definición me perdí un poco en la ultima parte, a que se refiere con la solución $x^*$ es un punto fijo para la iteración que define g?
   
3. Luego al calcular el error de interpolación polinomial a trozos en una parte se llega a ${|x_{i+1}-x_i|^2 } \over 4$ desde $x-{({{x_i+x_{i+1}) } }\over 2}$ lo cual no entiendo muy bien como sucede, lo cual también aplica para el $(x-x_i)^2(x_{i+1}-x)^2 \leq {{|x_{i+1}-x_i|^2 } \over 16}$ en la interpolación de heremite.
4. luego tampoco me quedo claro la definición de función contractiva o que significa.

Desde ya muchas gracias,

Lorena