Consultas de pruebas anteriores

Buenas

Veamos primero la función $h(x) = \vert f(x) \vert$ que es la que tenemos información sobre su límite

La función $h$ tiene limite finito en $0$, y por tanto esta acotada en un entorno de 0. Proposición 29 de las notas de limites y continuidad

Luego como $h = \vert f \vert$ entonces $f$ también esta acotada en un entorno de 0 (podemos tomar el mismo entorno que encontramos para $h$). Pues si $h(x) \in [m,M]$ para todo $x \in U$ entorno de 0, entonces $f(x) \in [-\max\{\vert m \vert , \vert M \vert\},\max\{\vert m \vert , \vert M \vert\}]$ para todo $x \in U$

Saludos