La fem inducida en la tercera flecha verde, es igual a -BvL entonces te queda RI=fem(de la fuente)+fem(indu), ósea I=(fem(fuente)-BLv)/R y eso lo sustituís en la ecuación de la fuerza magnética, de ahí te aparece el segundo termino que no tienes. Ósea la corriente es el resultado de tener las dos fems, una la de la fuente y la otra es la inducida.
Luego te va a quedar una ecuación diferencial con un termino constante, ahí haces separada la solución homogénea y la solución particular (intenta integrar entre un constante cualquiera A a la variable v en la integral de velocidad (ósea el limite de integración de A a V)y en la de tiempo de una constante B a el tiempo t). Tene cuidado luego de tener la solución general (ósea sumada la solución particular y homogénea) recién ahí aplica las condiciones iniciales y de ahí deducís A y B, lo cual podes como fusionarlas en una misma constante (te va a quedar algo como Ae^(cte*B), donde la cte es lo que esta en el exponencial multiplicando t).
Espero que te sirva, perdón que dije muchas veces "ósea" jaja
Saludos
C
Luego te va a quedar una ecuación diferencial con un termino constante, ahí haces separada la solución homogénea y la solución particular (intenta integrar entre un constante cualquiera A a la variable v en la integral de velocidad (ósea el limite de integración de A a V)y en la de tiempo de una constante B a el tiempo t). Tene cuidado luego de tener la solución general (ósea sumada la solución particular y homogénea) recién ahí aplica las condiciones iniciales y de ahí deducís A y B, lo cual podes como fusionarlas en una misma constante (te va a quedar algo como Ae^(cte*B), donde la cte es lo que esta en el exponencial multiplicando t).
Espero que te sirva, perdón que dije muchas veces "ósea" jaja
Saludos
C