Buenas
Te comento la parte , para que intentes usar las mismas ideas para la parte
, pero si continuas con dudas vuelve a escribir. La idea de este ejercicio es entender en un caso concreto sumas superiores e inferiores y como acotan el área (mas allá de que no se les de ese nombre). La clave del ejercicio esta en entender los valores
como área de un rectángulo.
El ejercicio comienza diciendo que la función es monótona creciente.
Veamos la desigualdad para ,
y después pasamos al caso general. Voy a mostrar la primera desigualdad, la otra es análoga
Para tenemos que probar que
es decir
Como es monótona creciente
para todo
es decir que el gráfico de
encierra al rectángulo de base el intervalo
en el eje
y altura
y por tanto su área (
) es mayor.
Para tenemos que probar que
. En esta sección, con la idea intuitiva de área tenemos que
(esta propiedad - con al definición formal de integral - se llama aditividad respecto al intervalo).
Repitiendo el argumento anterior tenemos que para todo
por tanto
.
Aquí tienes una representación gráfica de la situación
El área pintada de verde es la integral de
mientras que los rectángulos negros tienen área
En general, para cada ,
representa el área de un rectángulo de base
y altura
, mientras que para todo
en el intervalo
se tiene que
es decir la figura formada entre el eje
,
y las rectas
,
encierra al rectángulo de vértices opuestos
y
)
Por tanto , luego sumando desde k = 0 hasta k = n-1 tenemos que
.
La otra desigualdad de la parte es análoga.
Para la parte hay que adaptar el razonamiento para rectángulos mas finos.
Si tienes dudas vuelve a escribir
Saludos