Consultas del libro de ejercicio - Capítulo 3: Integración

Buenas

Entiendo que te refieres al ejercicio 6 de la sección 1, si no es así vuelve a escribir.

En esta parte hay 2 puntos, el primero entender la función y el segundo entender la integral.

Respecto a función, $f_{3}(t) = t - [t]$. Recuerda que $[t]$ es la distancia de $t$ a el/los enteros mas cercanos. El bosquejo del gráfico de $f_{3}$ sería el siguiente

De tu pregunta entiendo que esta parte la manejas pero si tienes problemas con ella vuelve a escribir

Respecto a como calcular la integral, para obtener un bosquejo puedes revisar problemas parecidos donde se trabaja con una función $F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$ - Videos con resoluciones de ejercicios de practico o Visualización de la función integral (en estos videos también se habla de las formulas pero están mas enfocados al bosquejo).

Respecto al calculo explicito, debido a que la función $f_{3}$ la puedes pensar por partes, puedes intentar hacer el calculo $F(x) = \int_{0}^{x} f_{3}(t)dt$ también por partes. Voy a comentar las primeras 4 partes. Ten en cuenta que aquí la idea no es usar aun las propiedades de aditividad de la integral con lo cual el calculo quedaría mas sencillo

En el tramo $x \in [0,\frac{1}{2}]$ la función $f_{3}$ es nula. Por lo que $F(x) = 0$ para todo $x \in [0,\frac{1}{2}]$

En el tramo $x \in [\frac{1}{2},1]$ el gráfico de la función $f_{3}$ es una recta de pendiente 2. Por lo que $F(x) = \int_{0}^{x} f_{3}(t) dt$ seria el área de un triángulo de base $(x - \frac{1}{2})$ y altura $2(x - \frac{1}{2})$. En conclusión $F(x) = (x - \frac{1}{2})^{2}$ para $x \in [\frac{1}{2},1]$.

Para $x \in [1,\frac{3}{2}]$ se agrega al área un rectángulo, de base $(x-1)$ y altura $1$. Es decir $F(x) = \int_{0}^{x} f_{3}(t) dt = (\frac{1}{2})^{2} + (x - 1)$ (donde el primer sumando se debe al área del triangulo anterior).

Para $x \in [\frac{3}{2},2]$ se agrega un nuevo trapecio de base $(x - \frac{3}{2})$ altura menor $1$, y altura mayor $1 + 2(x - \frac{3}{2})$, y en este caso $F(x) = (\frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{2} + (x-\frac{3}{2})(x - \frac{1}{2})$.

Con que realices para un par de casos mas es suficiente. De todas formas se puede encontrar una formula inductiva general, pero dado que no vimos inducción en el curso, con que veas como se calcula en estos primeros tramos es suficiente. En el bosquejo sera mas intuitivo como queda la inducción de forma intuitiva.

Cualquier duda vuelve a escribir

Saludos