Hola Felipe.
Entiendo tu razonamiento y lamento tu confusión.
En este tipo de casos en que se trata de una variable absolutamente continua y que da lo mismo en la densidad poner mayor o mayor o igual (menor o menor o igual) lo correcto en estas situaciones es buscar el supremo de la función. En el caso en que sea supremo y no máximo, hay una sucesión de puntos \( \alpha_n \) tales que \( L(α_n) \) tiende a ese supremo y se toma el estimador máximo verosímil (se llama estimador máximo verosímil aunque estrictamente y matemáticamente no exista ese máximo) al valor de \( \alpha \) límite de \( \alpha_n \).
Para decirlo más informalmente, en estos casos hacés el dibujo de la función \( L(\alpha) \) y mirás aquel valor de \( \alpha \) tales que tenga valores cercanos con un \( L \) que se acerque a ese supremo.
Otra manera de verlo es considerar la densidad como si dijera mayor o igual en lugar de mayor (porque probabilísticamente es exactamente lo mismo) y ese caso no tendrías problema de existencia del máximo. De esta forma es como se tratan los ejercicios de máxima verosimilitud.
Espero se entienda de lo contrario seguí consultando.