Sugerencias y erratas en las notas teóricas

Hola Gastón,

No estoy seguro de haber entendido tu comentario. Una matriz en $\mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{R})$ tiene $n$ columnas, y sus columnas son vectores en $\mathbb{R}^m$. Si $m > n$, entonces es claro que las columnas de una matriz en $\mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{R})$ no pueden generar todo $\mathbb{R}^m$.

En forma un poco más formal, el punto 2. de la observación dice que si las $n$ columnas de una matriz $Q\in \mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{R})$ forman un conjunto ortonormal en $\mathbb{R}^m$ (que es el espacio vectorial "ambiente" para las columnas de $Q$), como sí generan un subespacio de dimensión $n$ (y son una base ortonormal de ese subespacio), se puede completar al conjunto de columnas de $Q$ para obtener una base ortonormal de $\mathbb{R}^m$. (De hecho, cualquier base ortonormal del complemento ortogonal del subespacio generado por las columnas de $Q$ te sirve, y de ahí se deduce que la factorización QR completa está muy lejos de ser única!)

Como las bases de $\mathbb{R}^m$ tienen $m$ vectores, en ese procedimiento a las $n$ columnas de $Q$ le tenés que agregar $m-n$ vectores. Al final del día, si le agregas esos $m-n$ vectores columnas a $Q$, te queda una matriz ortogonal.

Capaz que me estoy pasando algo por alto. Si esto no responde a tu pregunta, por favor avisame.