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El término que tenés que derivar es este (más allá de la constante Q / 4 pi epsilon 0):

$\frac{z}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{\left( \frac{3}{2} \right)}}$

Al derivarlo con respecto a z e igualarlo a cero:

$\frac{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{ \frac{3}{2} }-z \frac{3}{2} \left(z^{2}+R^{2}\right)^{ \frac{1}{2} }2z}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{3}} =0$

El denominador te lo sacás de encima pasándolo para el otro lado con el cero. Y ahí ya está, vas a llegar a que z=R/ sqrt (2).