Hola María, el razonamiento es correcto.
Un par de detalles: cuando dices que T es isometría sii es inyectiva, esto es falso. Una T.L. puede ser inyectiva pero no tiene porqué ser isometría.
De cualquier modo lo que usas es que si es isometría entonces es inyectiva, lo que es cierto.
El otro detalle, atado al anterior, es que dices que por ser inyectiva también será sobreyectiva y por tanto invertible.
Esto es cierto en dimensión finita (por el teorema de las dimensiones), y la letra dice que estamos en este caso, pero debes mencionarlo en el desarrollo.
En el material sobre T.L. con producto interno que está en el EVA, en el teorema 8.1 podrás encontrar más.
Saludos
J.
Un par de detalles: cuando dices que T es isometría sii es inyectiva, esto es falso. Una T.L. puede ser inyectiva pero no tiene porqué ser isometría.
De cualquier modo lo que usas es que si es isometría entonces es inyectiva, lo que es cierto.
El otro detalle, atado al anterior, es que dices que por ser inyectiva también será sobreyectiva y por tanto invertible.
Esto es cierto en dimensión finita (por el teorema de las dimensiones), y la letra dice que estamos en este caso, pero debes mencionarlo en el desarrollo.
En el material sobre T.L. con producto interno que está en el EVA, en el teorema 8.1 podrás encontrar más.
Saludos
J.