Hola Nicolás.
Para poder comunicar la compuerta 1 con la 2, es necesario que estén abiertas $$A_1$$ y $$A_2$$ o $$A_3$$ y $$A_4$$. Te conviene recorrer todas las posibilidades en las que esto ocurra (por ejemplo una de ellas es $$A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4^c$$ que tiene probabilidad $$p^3(1-p)$$) y sumar esas probabilidades.
Otra forma es llamarle $$A=A_1 \cap A_2$$ y $$B=A_4 \cap A_3$$ entonces querés calcular $$P(A \cup B)$$ y aplicás la fórmula de la unión y ahí te queda.
Fijáte a ver si sale así, cualquier cosa avisás.
Saludos, Juan.