Facundo, como andás?
Buena pregunta! En efecto, el problema no dice nada de la variación de la corriente, sin embargo al resolverlo llegás a la conclusión de que el equilibrio solo se alcanza si la corriente decrece con el tiempo, me explico:
La corriente inducida va a ser la misma en toda la espira, por lo que la corriente en el lado de arriba va a ir en un sentido y la corriente en el lado de abajo va a ir en el otro.
Además, como la corriente inducida es la misma, el módulo de la fuerza en cada tramo va a depender únicamente de la distancia entre el tramo de la espira considerado y el alambre que lleva I(t), ya que el campo magnético generado por el alambre con corriente depende de la distancia al cable.
En definitiva, ya podés ver de antemano que la fuerza que actúa en el tramo de arriba va a ser mayor en módulo que la fuerza que actúa en el tramo de abajo, lo cual te va a dar una idea de la variación de la corriente que permite el equilibrio, veamos:
Si F1 fuera repulsiva, F2 tendría que ser atractiva, pero al ser F2<F1 por la distancia, siempre la resultante va a ser repulsiva, y además tenes el peso. En cambio, si F1 fuera atractiva, F2 sería repulsiva y la resultante sería atractiva, lo cual podría compensar al peso para dar una resultante igual a cero.
Efectivamente, para que esto suceda, la corriente tiene que decrecer con el tiempo, que es la condición a la que se llega en la solución, si creciera nunca se llegaría al equilibrio.
Espero que quede claro y cualquier cosa preguntá de nuevo!