Hola Martín. Usamos Taylor porque es la aproximación más habitual en la física en general. Fíjate que no hay función más sencilla que un polinomio, y Taylor convierte cualquier cosa compleja en polinomio.
Cómo vos bien te preguntas, uno no puede hacer Taylor así como así. La aproximación se puede hacer en "entornos de". Por ejemplo alrededor de cero, o un poco más abstracto, cuando algo tiende a cero como es este caso (fíjate que el campo eléctrico se va a cero en el infinito).
El criterio para despreciar términos va a depender de lo que te pida el problema. Si te dice desarrollo a primer orden, descartas todos los términos con x elevado al cuadrado o superior. Eso va a depender del problema, pero en general se vana solicitar solo desarrollo hasta primer orden justamente.
Espero haber respondido a tus preguntas. Quedo a las órdenes.