Que tal Juan Manuel?
Una forma más formal de verlo sería directamente calcular el gradiente del potencial y ver como te queda el campo eléctrico. Al hacer esto te va a quedar una expresión con una componente según 
y otra según 
.
Luego, podés ver como se descompone el vector 
en esta base para recuperar la expresión del video y corroborar que es válida.
Espero que te ayude y cualquier cosa volvé a preguntar!