Hola Marcos,
creo que te olvidaste de una constante, y debería cambiar el signo de uno de los lados de tu ecuación antes de invertir el logaritmo. Fijate que tu solución (e^t) diverge. En general en estos circuitos RC las soluciones son de la forma e^(- t/(RC)) que si bien tienen un crecimiento o decrecimiento exponencial, no divergen.
Cualquier cosa a las órdenes.