Foro de Consultas

$a(e^{x}-1)-bx^{2}-x$

Desarrollo de Taylor de $e^{x}$ en el entorno de $x=0$:

$e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+...=\sum_{i=0}^{+\infty} \frac{x^{i}}{i!}$

Entonces se tiene

$a(1+x+\frac{x^{2}}{2}+O(x^{3})-1)-bx^{2}-x$

$a(x+\frac{x^{2}}{2}+O(x^{3}))-bx^{2}-x$

$ax+a\frac{x^{2}}{2}+aO(x^{3})-bx^{2}-x$

$(a-1)x+(\frac{a}{2}-b)\frac{x^{2}}{2}+aO(x^{3})$

Para eliminar el término en $x$, se elige $a=1$:

$(a-1)x+(\frac{a}{2}-b)\frac{x^{2}}{2}+aO(x^{3})=(\frac{1}{2}-b)\frac{x^{2}}{2}+O(x^{3})$

Para eliminar el término en $x^{2}$, se elige $b=\frac{1}{2}$:

$O(x^{3})$

$x+a\sin{(x)}+b\tan{(x)}$

Desarrollo de Taylor de $\sin{(x)}$ en el entorno de $x=0$:

$\sin{(x)}=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{7!}+...$

Desarrollo de Taylor de $\tan{(x)}$ en el entorno de $x=0$:

$\tan{(x)}=x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2x^5}{15}+...$

Entonces se tiene

$x+a(x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+O(x^7))+b(x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2x^5}{15}+O(x^7))$

$(1+a+b)x+(-\frac{a}{6}+\frac{b}{3})x^3+(\frac{a}{120}+\frac{2b}{15})x^5+O(x^7)$

Despejando, se tiene $a=-\frac{2}{3}$ y $b=-\frac{1}{3}$.

$(\frac{-1}{20})x^5+O(x^7)$

Nos queda un infinitésimo de orden 5.