Práctico 2. Parte 3- Número e. Ejs. 3 y 4

Re: Práctico 2. Parte 3- Número e. Ejs. 3 y 4

de Nicolas Santiago Gammarano Lame -
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$$c_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$

Binomio de Newton:

$$c_n=\sum_{i=0}^n C_i^n \left(\frac{1}{n}\right)^i (1)^{n-i}=\sum_{i=0}^n C_i^n \left(\frac{1}{n}\right)^i$$

$$C_i^n=\frac{n!}{i!(n-i)!}$$

Entonces

$$c_n=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!} \left(\frac{1}{n}\right)^i$$

$$c_n=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!n^i}$$

$$\frac{n!}{i!(n-i)!n^i}=\frac{\prod_{j=n-i+1}^n j}{i!n^i}=\frac{\prod_{j=n-i+1}^n \frac{j}{n}}{i!}$$

Como $$\frac{j}{n}\leq 1 \forall j\in \lbrace n-i+1, ..., n\rbrace$$, entonces

$$\frac{n!}{i!(n-i)!n^i}\leq \frac{\prod_{j=n-i+1}^n 1}{i!}=\frac{1}{i!} \forall i\in \lbrace 0, ..., n\rbrace$$


Entonces

$$c_n=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!n^i}\leq \sum_{i=0}^n \frac{1}{i!}$$

$$c_n \leq a_n$$