- Fuente TeX:
- \begin{aligned}
&\text{Dado que } z = x + yi, \text{ el conjugado de } z \text{ es } \overline{z} = x - yi.\\
&\text{La ecuación es:}\\
&\overline{z} - \frac{1}{z} = 3i\\
&\text{Sustituyendo } z = x + yi \text{ y } \overline{z} = x - yi:\\
&(x - yi) - \frac{1}{x + yi} = 3i\\
&\text{Multiplicando numerador y denominador por el conjugado:}\\
&\frac{1}{x + yi} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2}\\
&\text{Entonces, la ecuación se convierte en:}\\
&(x - yi) - \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = 3i\\
&\text{Separando en partes reales e imaginarias:}\\
&x - \frac{x}{x^2 + y^2} - i \left(y - \frac{y}{x^2 + y^2}\right) = 0 + 3i\\
&\text{Igualando las partes reales e imaginarias:}\\
&x - \frac{x}{x^2 + y^2} = 0 \quad \text{(Parte real)}\\
&-y + \frac{y}{x^2 + y^2} = 3 \quad \text{(Parte imaginaria)}\\
&\text{Resolviendo la parte real:}\\
&x \left(1 - \frac{1}{x^2 + y^2}\right) = 0\\
&x \left(\frac{x^2 + y^2 - 1}{x^2 + y^2}\right) = 0\\
&\text{Esto implica que } x = 0 \text{ o } x^2 + y^2 = 1.\\
&\text{Si } x = 0:\\
&-y + \frac{1}{y} = 3\\
&\text{Multiplicando por } y:\\
&-y^2 + 1 = 3y\\
&y^2 + 3y - 1 = 0\\
&\text{Usando la fórmula general:}\\
&y = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2}\\
&y = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}\\
&\text{Por lo tanto, } y_1 = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}, \quad y_2 = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}.\\
&\text{Entonces, los valores de } z \text{ son:}\\
&z_1 = 0 + \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}i, \quad z_2 = 0 + \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}i.
\end{aligned}