Fuente TeX:

\begin{aligned} &\text{Dado que } z = x + yi, \text{ el conjugado de } z \text{ es } \overline{z} = x - yi.\\ &\text{La ecuación es:}\\ &\overline{z} - \frac{1}{z} = 3i\\ &\text{Sustituyendo } z = x + yi \text{ y } \overline{z} = x - yi:\\ &(x - yi) - \frac{1}{x + yi} = 3i\\ &\text{Multiplicando numerador y denominador por el conjugado:}\\ &\frac{1}{x + yi} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2}\\ &\text{Entonces, la ecuación se convierte en:}\\ &(x - yi) - \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = 3i\\ &\text{Separando en partes reales e imaginarias:}\\ &x - \frac{x}{x^2 + y^2} - i \left(y - \frac{y}{x^2 + y^2}\right) = 0 + 3i\\ &\text{Igualando las partes reales e imaginarias:}\\ &x - \frac{x}{x^2 + y^2} = 0 \quad \text{(Parte real)}\\ &-y + \frac{y}{x^2 + y^2} = 3 \quad \text{(Parte imaginaria)}\\ &\text{Resolviendo la parte real:}\\ &x \left(1 - \frac{1}{x^2 + y^2}\right) = 0\\ &x \left(\frac{x^2 + y^2 - 1}{x^2 + y^2}\right) = 0\\ &\text{Esto implica que } x = 0 \text{ o } x^2 + y^2 = 1.\\ &\text{Si } x = 0:\\ &-y + \frac{1}{y} = 3\\ &\text{Multiplicando por } y:\\ &-y^2 + 1 = 3y\\ &y^2 + 3y - 1 = 0\\ &\text{Usando la fórmula general:}\\ &y = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2}\\ &y = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}\\ &\text{Por lo tanto, } y_1 = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}, \quad y_2 = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}.\\ &\text{Entonces, los valores de } z \text{ son:}\\ &z_1 = 0 + \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}i, \quad z_2 = 0 + \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}i. \end{aligned}