Cronograma de clases 2011 realizado
hasta el 29 de abril
y previsto hasta el final del semestre.
Clase1. Martes 1 de marzo: Plano complejo, cuerpo de los complejos, módulo y argumento, raíz cuadrada, raíces n-ésima (Notas de EC Sección 1) Práctico 1
Clase 2. Viernes 4 de marzo: Exponencial compleja y logaritmo complejo. Logaritmo principal. (Notas de EC Sección 1) Práctico 1
Clase 3. Martes 8 de marzo: Límites y Continuidad de funciones complejas de variable compleja (Notas de EC Sección 1)Transformación de Moebius (Notas de EC Sección 1 o también Ahlfors, sección 1.3). Práctico 2
Clase 4. Viernes 11 de marzo: Compactificación del plano complejo, esfera de Riemann (Notas de E.C. sección 1. Interpretación geométrica de la transformación de Moebius. Funciones holomorfas. Condición de Cauchy Riemann. (Notas de EC Sección 2) Práctico 2
Martes 15 de marzo Feriado.
Clase 5. Viernes 18 de marzo: Derivada en un punto de funciones de variable compleja. Transformaciones conformes. Demostración de conformalidad cuando la derivada es distinta de cero. (Notas de EC Sección 2)
Clase 6. Martes 22 de marzo: Funciones holomorfas. Condición de Cauchy Riemann. Cálculo de derivada del logaritmo principal en C\ semieje real positivo. (Notas de EC Sección 2) Práctico 2
Nota: El tema de funciones armónicas se posterga hasta nuevo aviso. Si al final del curso no quedara tiempo, no se dará.
Clase 7. Viernes 25 de marzo: Curvas paramétricas en el plano complejo. Curvas cerradas. Parametrización de circunferencia. Integración de funciones complejas continuas sobre caminos C^1 a trozos. Regla de Barrow para integrando continuo. Ejemplos de aplicación de regla de Barrow. Cálculo de integral de 1/(z-a) sobre curvas cerradas. (Notas de EC Sección 3)
Clase 8. Martes 29 de marzo: Acotación de integrales. Curvas homotópicas entre sí y curvas cerradas homotópicas a un punto. Conjuntos simplemente conexos. Ejemplos. (Notas de EC Sección 1) Índice de un camino cerrado en un punto y Teorema del índice. (Notas de EC Sección 5). Práctico 3
Clase 9. Viernes 1 de abril: Series de funciones complejas. Convergencia uniforme. Teorema de Convergencia Uniforme e integración (enunciado solo). (Notas de EC Sección 3) Series de potencias, radio de convergencia, derivación de series de potencias. (Notas de EC Sección 5). Práctico 3
Clase 10. Martes 5 de abril: Ejemplos. Relación entre coeficientes de la serie y derivada n-ésima de la función. Funciones analíticas y derivabilidad infinita de las funciones analíticas. (Notas de EC Sección 5). Práctico 3
Clase 11. Viernes 8 de abril: Teorema de construcción de funciones analíticas mediante integración. (Notas de EC Sección 5). Práctico 4
Clase 12. Martes 12 de abril: Sucesiones de rectángulos encajados convergentes. Teorema de Cauchy en un rectángulo (Notas de EC Sección 6 o también Sección 3-1.2, teorema 2 de la página 112 de Ahlfors).
Clase 13. Viernes 15 de abril: Teorema de Cauchy-Goursat para rectángulos. Fórmula integral de Cauchy local en un rectángulo. Analiticidad de las funciones holomorfas. Fórmulas integrales de Cauchy para las derivadas(Notas de EC Sección 6 , o también Sección 3-1.3, teorema 3 de la página 114 y Sección 3-2.2 desde la página 120 a la 125 de Ahlfors) Práctico 4
Suspensión de clases por feriado de Turismo: del 18 al 23 de abril.
Clase 14. Martes 26 de abril Teorema de Cauchy global. Fórmula integral de Cauchy global. Fórmula de Cauchy global para las derivadas. Notas de EC Sección 7 Práctico 4.
Clase 15. Viernes 29 de abril: Continuación de la Teoría de Cauchy global. Fórmulas integrales globales. Ejemplos. Notas de EC Sección 7 Práctico 4.
Consultas antes del primer parcial: Se atenderán preguntas y dudas en el foro. Pero en lo posible, (sobre todo si hubiese muchas dudas para responder), los mismos estudiantes que preguntan por favor miren y traten de responder también las dudas de sus compañeros. Gracias
Suspensión de clases por período de primeros parciales: del 2 de mayo al 7 de mayo. Se retoman las clases el 9 de mayo.
Primer parcial del curso de Funciones de Variable Compleja: Sábado 7 de mayo, hora 9:00 Salón A12 del Aulario.
Nota: Para el primer parcial van: prácticos 1 a 4 incluido y de teórico de la clase 1 a la 15 incluida, de este cronograma. Se propondrán tres o cuatro ejercicios con varias partes cada uno, similares a los de los prácticos y además enunciados y demostraciones de definiciones-teoremas, según la lista de posibles preguntas que está en la cartelera de Novedades, bajo el título “Lo que va para el parcial”.
Previstas después del primer parcial: Clase 16: Martes 10 de mayo; Clase 17: Viernes 13 de mayo; Clase 18: Martes 17 de mayo:
En esas tres clases se dará lo siguiente:
Consecuencias de la teoría de Cauchy. Principio del módulo máximo. Notas de EC Sección 8 Práctico 4.
Desigualdades de Cauchy. Teorema de Liouville. Demostración del teorema fundamental del álgebra. Notas de EC Sección 8 Práctico 5.
Lema de Jordan (sin demostración), lema de deformación de curvas (con demostración) y aplicación al cálculo de integrales reales. Notas de EC Sección 9 Práctico 5.
Previstas Clase 19: Viernes 20 de mayo.
Clase 20: Martes 24 de mayo.
Clase 21: Viernes 27 de mayo.
Clase 22: Martes 31 de mayo.
En esas cuatro clases se prevé dar lo siguiente:
Ceros de funciones analíticas. Singularidades aisladas, evitables, polos y esenciales. Notas de EC Sección 12 Práctico 5.
Funciones meromorfas. Topología de convergencia uniforme en compactos. Teoremas de caracterización de polinomios y funciones racionales. Teorema de aproximación por funciones racionales. Notas de EC Sección 14 Práctico 5.
Series de Laurent. Ejemplos Notas de EC Sección 13 Práctico 6.
Definición de residuos. Fórmula integral y fórmula de las derivadas para el cálculo de residuos. Teorema de los residuos y ejemplo. Notas de EC Sección 15 Práctico 6.
Prevista Clase 23. Viernes 3 de junio. Principio del argumento. Teorema de Rouché. Ejemplo. Notas de EC Sección 15 Práctico 6.
Prevista Clase 24. Martes 7 de junio. Transformada de Laplace. Definición y ejemplos. Linealidad. Unicidad (sin demostración). Producto por e^{at} y traslación en el eje de t. Escalón de Heaviside y su transformada. (Notas de J. Vieitez y N. Möller.). Práctico 7.
Prevista Clase 25. Viernes 10 de junio. Transformada de Laplace. Enunciado de propiedades (semiplano de convergencia, transformada de la integral y de la derivada; analiticidad y derivada de la transformada). Tabla de transformadas. (Notas de J. Vieitez y N. Möller.). Práctico 7.
Prevista Clase 26. Martes 14 de junio. Prueba de la fórmula de tranformada de Laplace de la derivada admitiendo la de la integral. Ejemplos de aplicación de transformada de Laplace para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales-integrales y circuito RC. Función transferencia. (Notas de J. Vieitez y N. Möller.). Práctico 7
Previstas Clases 27 y 28. Viernes 17 y Martes 21 de junio. Transformada de Laplace: Lema de integración por partes de la transformada de Laplace. Demostración del teorema de semiplano de convergencia, de convergencia uniforme de la transformada en compactos, de la analiticidad y derivada de la transformada de Laplace, y de la transformada de Laplace de la integral. Convolución. Fórmula de inversión. (Notas de J. Vieitez y N. Möller.). Práctico 7
Clase de consulta antes del segundo parcial Prevista para el viernes 24 de junio de 12 a 13:30 en el salón 301.
Período de segundos parciales: 27 de junio al 9 de julio de 2011.
Segundo parcial del curso de Funciones de Variable Compleja: Fecha y hora aún nos han informado.
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