Geometría y Álgebra Lineal 1

OBJETIVO GENERAL: Comprender y manejar las técnicas algebraicas básicas, teóricas y operatorias, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, escalerización y álgebra de matrices. Estructurar el álgebra lineal según el modelo geométrico de vectores. Construir y asimilar el modelo axiomático de espacio vectorial a partir de los ejemplos de matrices, vectores y soluciones de sistemas de ecuaciones lineales. 

TEMARIO: 

1. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices: 

   - Presentación de sistemas lineales, resolución de casos simples.
   - Transformaciones elementales.
   - Notación matricial para los sistemas, escalerización.
   - Teorema de Rouché-Frobenius.
   - Álgebra de matrices.
   - Matrices especiales (diagonales, triangulares, matrices elementales). 
   - Ecuaciones matriciales.
   - Matriz inversa y cálculo de la inversa. 
   - Rango de una matriz.

2. Determinantes:
   - Determinantes de matrices de orden 2 y 3.
   - Cálculo de forma inductiva.
   - Propiedades.
    - Relación con la inversa.
   - Aplicaciones en la resolución de sistemas de ecuaciones. 

3. Geometría en el espacio:
   - Coordenadas, operaciones entre puntos y vectores.
   - Ecuación de rectas y planos.
   - Producto escalar, vectorial.
   - Normal a un plano, perpendicularidad, distancias.

4. Espacios vectoriales:
   - Definiciones de espacio vectorial y subespacio de un espacio vectorial.
   - Intersección de subespacios vectoriales. 
   - Generadores, conjuntos LI, bases y dimensión de espacios vectoriales.
   - Combinaciones lineales y generadores. Ejemplos.
   - Obtención de bases que contengan un LI dado y/o que estén incluidas en un generador dado.
   - Propiedades de bases y generadores.
   - Noción de dimensión.
   - Ejemplos de cálculos de dimensiones de espacios vectoriales.
   - Ejemplos de espacios de dimensión infinita.
   - Bases ordenadas y mapas de coordenadas.
   - Suma y suma directa de subespacios vectoriales.

5. Transformaciones lineales:
   - Definición de transformación lineal. Ejemplos.
   - Operaciones con transformaciones lineales.
   - Matriz asociada a una transformación lineal respecto a una base ordenada del dominio y otra del codominio.
   - Cambios de base. Operaciones con transformaciones lineales y su correlación a nivel de matrices asociadas. 
   - Núcleo e imagen de una transformación lineal.
   - Teorema de las dimensiones.
   - Rango de una transformación lineal y rango de una matriz.
   - Isomorfismos lineales.
   
   

Cronograma de la primera parte del curso:

Semana 1: 31/7-4/8. Sistemas lineales y escalerización. Práctico 0.

Semana 2: 7/8-11/8. Teorema de Rouché-Frobenius. Sistemas homogéneos. Práctico 1.

Semana 3: 14/8-18/8. Producto matricial, matriz traspuesta e inversa de una matriz. Prácticos 1 y 2.

Semana 4: 21/8-25/8. Cálculo de la inversa de una matriz y matrices elementales. Prácticos 2 y 3.

Semana 5: 28/8-1/9. Determinante de una matriz. Prácticos 3 y 4.

Semana 6: 4/9-8/9. Geometría del espacio, ecuación del plano, ecuación de la recta e intersecciones. Prácticos 4 y 5.

Semana 7: 11/9-15/9. Aplicaciones del producto escalar y vectorial. Distancia. Prácticos 5 y 6.

Cronograma de la segunda parte del curso:

Semana 1: 2/10-6/10. Espacios vectoriales, combinación lineal de vectores, subespecios vectoriales. Sección 3 del práctico 6 y práctico 7.

Semana 2: 9/10-13/10. Conjuntos generadores y linealmente independientes. Rango de una matriz. Prácticos 7 y 8.

Semana 3: 16/10-20/10. Base de un espacio vectorial, suma directa de espacios vectoriales. Prácticos 8 y 9.

Semana 4: 23/10-27/10. Transformaciones lineales. Núcleo e imagen de una transformación lineal. Prácticos 9 y 10.

Semana 5: 30/10-3/11. Teorema de las dimensiones. Prácticos 10 y 11.

Semana 6: 6/11-10/11. Matriz asociada a una transformación lineal. Cambio de base. Prácticos 11 y 12.

Semana 7: 13/11-17/11. Semana de cierre del curso.