Geometría y Álgebra Lineal 1

Fecha: Viernes 2 de febrero.

Horario: De 8:00 a 11:30. Recomendamos llegar con media hora de anticipación.

Modalidad: Presencial. En las instalaciones de la Facultad de Ingeniería (ver lista de salones asignados).

Formato y puntajes: Dos partes. 
- La primera parte es de Verdadero o Falso (de 20 puntos en total) conformada por 5 preguntas. Se dan 4 puntos por cada respuesta correcta, -2 por cada incorrecta, y 0 si no contesta. 
- La segunda parte es de Múltiple Opción (de 80 puntos en total) conformada por 8 preguntas. Se dan 10 puntos por cada respuesta correcta, -2 por cada incorrecta, y 0 si no contesta.


Aprobación: Con 60 puntos o más. La escala de conversión sobre 12 puede verse aquí.

Contenidos: 
- (I) Sistemas de ecuaciones lineales: Sistemas homogéneos y no homogéneos. Matrices. Matriz asociada y matriz ampliada de un sistema. Método de escalerización. Formas escalonadas y forma escalonada reducida de una matriz. Escalones. Rango de una matriz. Teorema de Rouché-Frobenius. Sistemas de ecuaciones con parámetro.
- (II) Álgebra matricial: Operaciones con matrices. Producto de matrices. Propiedades. Matriz traspuesta y propiedades. Ecuaciones matriciales. Matriz inversa y propiedades. Matrices elementales.
Cálculo de la inversa de una matriz.
- (III) Determinantes: Determinantes. Cálculo de determinantes y propiedades. Determinante de un producto. Determinante de matrices invertibles. Regla de Cramer.
- (IV) Geometría en el plano y el espacio: Suma y producto por un escalar en $$\mathbb{R}^n$$, e interpretación geométrica de dichas operaciones para $$n = 2$$ y $$n = 3$$. Ecuaciones paramétricas y ecuación implícita (o reducida) de la recta y el plano. Paso de las ecuaciones paramétricas a la implícita y viceversa. Intersección entre rectas y planos. Producto escalar y vectorial. Cálculo de distancias entre puntos, rectas y planos.
- (V) Espacios vectoriales: Definición y ejemplos de espacios vectoriales. Subespacios de un espacio vectorial, propiedades y ejemplos.  Combinaciones lineales y subespacio generado por un conjunto finito de vectores. Independencia lineal. Cómo determinar si un conjunto es linealmente independiente o si genera a un espacio vectorial. Bases y dimensión de un espacio vectorial. Ejemplos de bases y cálculo de dimensiones. Sumas directas y no directas de subespacios. Cómo saber cuándo una suma es directa. Cálculo de la dimensión de una suma de subespacios. 
- (VI)Transformaciones lineales: Definición y ejemplos de transformaciones lineales. Propiedades de las transformación lineales. Suma, multiplicación por un escalar y composición de transformaciones lineales. Núcleo e imagen de una transformación lineal. Cálculo del núcleo e imagen de una transformación lineal dada. Obtención de una transformación lineal a partir de sus valores en una base del dominio. Transformaciones lineales inyectivas, sobreyectivas y biyectivas (isomorfismos). Teorema de las dimensiones y cómo aplicarlo. 

Observaciones:
- La parte correspondiente a matriz asociada de una transformación lineal no será evaluada en este examen. 

Normas:
- Debe estar inscrito al examen para poder darlo. Quien no aparezca en la lista de inscritos no podrá entrar a los salones. Las inscripciones están habilitadas hasta el 29 de enero. 
- No se permiten ingresos al examen luego de media hora de haberse iniciado.  
- Les pediremos no retirarse durante la primera media hora del examen. 
- El único material permitido son los implementos para escribir. Está prohibido el uso de cualquier material de apoyo impreso o digital. Tampoco está permitido el uso de dispositivos de cómputo ni de comunicación (calculadoras, celulares, etc). 
- Hacer trampa (entiéndase copiar, consultar material, comunicarse con otros estudiantes, etc) es una falta grave a la universidad y está penalizado. 
- Debe llevar su cédula de identidad para identificarse antes de ingresar al salón donde le toque rendir el examen. Podrá conocer de antemano cuál salón le toca en los listados que se publicarán en esta página.


Resultados: Se darán durante la semana del 5 al 9 de febrero.