Tema: Semana 9 (06/05 - 10/05) | Topología y Análisis Real

Diagrama de temas

Clase 16 (teórico)

Cubrimientos abiertos, subcubrimientos, y definición de espacio métrico compacto.
Primeros ejemplos de espacios compactos: todo espacio finito es compacto; un espacio discreto es compacto si y solamente si es finito; intervalos cerrados en $\mathbb{R}$ , bolas cerradas y esferas en $\mathbb{R}^n$ son ejemplos de compactos (esto se demostrará más adelante).
Subespacios compactos y topología relativa. Caracterización de subespacios compactos (con demostración).
Todo subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto (con demostración).
Todo subespacio compacto es cerrado (con demostración).
En la definición de compacidad, basta considerar cubrimientos por bolas abiertas (sin demostración).
Todo subespacio compacto es acotado (sin demostración).

Clase 17 (teórico)

Ejemplo de subespacio no cerrado y no compacto de un espacio métrico compacto.
Ejemplo de subespacio cerrado y acotado que no es compacto.
La imagen de un espacio compacto a través de una función continua es compacto (con demostración).
Toda biyección continua con dominio compacto es un homeomorfismo (con demostración).
La compacidad como invariante topológico (sin demostración).
Ejemplo: La circunferencia $S^1$ es un subespacio compacto de $\mathbb{R}^2$ .
Teorema de Tychonoff: el producto cartesiano finito de espacios métricos es compacto si y solamente si cada espacio es compacto (solamente enunciado).
Ejemplo: El toro es un subespacio compacto de $\mathbb{R}^3$ .
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