Tema: Semana 8 (29/04 - 03/05) | Topología y Análisis Real

Diagrama de temas

Clase 14 (teórico)

Caracterización de puntos de adherencia de un conjunto mediante sucesiones (con demostración).
Caracterización de puntos de frontera de un conjunto mediante sucesiones (sin demostración).
Caracterización de subconjuntos densos de un conjunto mediante sucesiones (sin demostración).
Caracterización de conjuntos cerrados mediante sucesiones (sin demostración).
Caracterización de puntos de interiores de un conjunto mediante sucesiones (sin demostración).
Caracterización de puntos de acumulación de un conjunto mediante sucesiones (sin demostración).
Ejemplo: probar que cierto conjunto es cerrado mediante el uso de convergencia de sucesiones.
Sucesiones de funciones.
Convergencia puntual.
Convergencia uniforme.
Ejemplo: $f_n(x) = \frac{x^2 + nx}{n}$ converge puntualmente a la función identidad, pero no uniformemente a dicha función.
Ejemplo: $f_n(x) = \frac{1}{2^{x+n}}$ converge uniformemente a la función constantemente igual a cero.

Clase 15 (teórico)

Si $(f_n)$ es una sucesión de funciones acotadas que converge uniformemente a $f$ , entonces $f$ es acotada (con demostración).
Si $(f_n)$ es una sucesión de funciones acotadas que converge puntualmente a $f$ , entonces no necesariamente $f$ es acotada (con contraejemplo).
Definición de sucesiones de Cauchy.
Ejemplos de sucesiones de Cauchy que no son convergentes (sucesiones de Cauchy en $\mathbb{Q}$ con límite fuera de $\mathbb{Q}$ : la sucesión del número de Euler y la sucesión del número áureo construida a partir de la sucesión de Fibonacci).
Propiedades de las sucesiones de Cauchy (sin demostración): (1) toda sucesión convergente es de Cauchy; (2) toda sucesión de Cauchy es acotada; (3) toda sucesión de Cauchy que contenga una subsucesión convergente es convergente.
Observación: No toda sucesión de Cauchy es convergente y no toda sucesión acotada es de Cauchy.
Definición de espacios métricos completos.
Ejemplo de espacio no completo: $\mathbb{Q}$ con la métrica usual heredada de $\mathbb{R}$ .
Ejemplo de espacio métrico completo: $\mathbb{R}$ (consecuencia del Teorema de Bolzano-Weierstrass).
Generación de espacios métricos completos a partir de espacios métricos dados.
Todo subespacio de un espacio métrico completo es completo si, y solamente si, es cerrado (sin demostración).
El producto cartesiano finito de espacios métricos es completo si, y solamente si, cada factor es un espacio métrico completo (sin demostración).
Cada componente conexa de un espacio métrico completo es completo (sin demostración).
La unión finita de subespacios métricos completos de un espacio métrico es completo (sin demostración).
La intersección arbitraria de una familia de subespacios métricos completos de un espacio métrico es completo (sin demostración).
Si $M$ es completo, entonces el espacio $\mathcal{B}(X,M)$ de funciones acotadas de un conjunto $X$ en $M$ (con la métrica de la convergencia uniforme) es completo (con demostración).
Todo espacio métrico se puede sumergir mediante una isometría dentro de un espacio métrico completo (completación de un espacio métrico).

Clase 7 (práctico)

Ejercicios trabajados del Práctico 8: 2 (b), 3 (b) y 6.
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