Topología y Análisis Real
Diagrama de temas
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Clase 11 (teórico)
- Demostración de que la conexidad es un invariante topológico.
- Aplicaciones al cálculo: teorema del valor medio, teorema del punto fijo de Brouwer, teorema de Borsuk-Ulam.
- Conexidad por arcos.
- Una relación de equivalencia entre puntos dentro de un espacio conexo por arcos.
- Todo espacio métrico conexo por arcos es conexo (con demostración).
- La curva seno del topólogo: ejemplo de espacio métrico conexo que no es conexo por arcos.
Clase 12 (teórico)- Espacios localmente conexos por arcos.
- Todo espacio conexo y localmente conexo por arcos es conexo por arcos (con demostración).
- Propiedades de la conexidad por arcos: la imagen de un espacio conexo por arcos a través de una función continua es conexo por arcos (con demostración), la conexidad por arcos es un invariante topológico, unión de conjuntos conexos por arcos con un punto en común es conexo por arcos, todo producto cartesiano finito de espacios conexos por arcos es conexo por arcos.
- Revisión de invariantes topológicos: cardinalidad, conexidad, conexidad por arcos, propiedad del punto fijo.
- Componentes conexas y componentes conexas por arcos de un espacio métrico.
- Dos invariantes topológicos nuevos: número de componentes conexas y componentes conexas por arcos de un espacio métrico.
- Ejemplo: curva seno del topólogo (la cantidad de componentes conexas puede diferir de la cantidad de componentes conexas por arcos).
Clase 5 (práctico)- Ejercicios trabajados del Práctico 6: 3 (a), (b), (c), (d), (e).
- Demostración de que la conexidad es un invariante topológico.