Diagrama de temas

  • Clase 9 (teórico)

    • Ejemplos de homeomorfismos: isometrías sobreyectivas, métricas equivalentes y la función identidad, proyección estereográficas, traslaciones y homotecias en espacios vectoriales normados.
    • Particiones de un espacio métrico. Espacios conexos y disconexos.
    • Ejemplos de espacios disconexos: \mathbb{R} - \{0\}, espacios discretos.
    • La recta real como ejemplo de espacio conexo (con demostración).
    • Caracterización del concepto de espacio conexo mediante la inexistencia de subconjuntos propios que sean abiertos y cerrados a la vez ("clopen sets").

    Clase 10 (teórico)

    • Topología relativa en espacios métricos.
    • Sunconjuntos conexos de un espacio métrico.
    • Ejemplo de subconjunto disconexo en donde es fácil hallar una partición no trivial.
    • Ejemplo de subconjunto disconexo donde no es inmediato hallar una partición no trivial.
    • Propiedad (sin demostración): Ausencia de conexidad en un subconjunto A \cup B donde A y B son disjuntos y no vacíos, tales que A \cap B' = \emptyset y A' \cap B = \emptyset.
    • Ejemplo de subconjunto conexo: la curva seno del topólogo.
    • Preservación de la conexidad de un subconjunto al añadirle sus puntos de adherencia (con demostración).
    • Propiedades generales de la conexidad (sin demostración): (i) la imagen de subconjuntos conexos a través de una función continua es conexo (la conexidad como invariante topológico); (ii) la unión de subconjuntos conexos con un punto en común es conexo; (iii) el producto cartesiano finito de espacios conexos es conexo.
    • Ejemplos de espacios conexos a partir de las propiedades: la circunferencia unitaria S^1, el plano \mathbb{R}^2, espacios vectoriales normados.

    Clase 4 (práctico)

    • Ejercicios trabajados del Práctico 4: 4.
    • Ejercicios trabajados del Práctico 5: 2-(a), 3.
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